Isomorfismo inverso

[zompetta]

data l'applicazione lineare $f : RR^3 -> RR^3$ definita da $f(x_1,x_2,x_3) = (x_1, x_1+x_2+x_3, x_1+x_2)$
a) si scriva la matrice A rispetto alla base canonica
b) si provi che f è un isomorfismo
c) si determini B = C[g]C, dove $g= f^(-1)$ è l'isomorfismo inverso
d) si trovi \( f^{-1} ([1,2,1])\)

ho trovato la matrice $A= ( ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ) ) $

ma poi come faccio a provare che f è un isomorfismo?? devo vedere se è biiettiva? o se è invertibile? poi per il punto C dovrei fare l'inverso dell'isomorfismo e trovarci la matrice B???

aiuto

[regim]

Sono tutte condizioni equivalenti. $A^-1$ e' l'inversa.

[zompetta]

quindi per trovare la matrice B sarebbe l'inversa della matrice A??

[regim]

Se esiste, la sua rappresentazione matriciale e' quella si. C'e' un teorema che ci informa poi, nel qual caso, che e' unica, e siccome $A^-1\* A x = x$ tutto torna.

[zompetta]

l'inversa di A, e quindi B, mi viene: $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( -1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ) ) $

poi $ f^-1 $ [1,2,1] , per trovarlo devo mettere questo vettore come vettore colonna vicino a B e fare il prodotto tra i 2, oppure devo mettere il vettore come vettore dei termini noti vicino alla mia matrice B e fare la riduzione?? come risultato devo ottenere un vettore o una matrice??

[regim]

O risolvi il sistema considerando la terna $[1,2,1]$ come termini noti, oppure trovi l'inversa B e fai il prodotto come hai detto all'inizio. Devi trovare un vettore, perche' ti chiede l'immagine di un punto e un punto devi trovare.

[zompetta]

ho fatto il prodotto e mi viene il vettore colonna [1,0,1] ..è corretto??

[regim]

no, e' [1,4,3].
\[
\begin{cases}
x=1 \\
-x+z=2 \\
y-z=1
\end{cases}
\]

[zompetta]

però facendo il prodotto $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( -1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $ $ ( ( 1 ),( 2 ),( 1 ) ) $
viene fuori un altro vettore...perchè?!

[regim]

Scusa e' [1,4,3] che devi moltiplicare per dare [1,2,1] come immagine. [1,4,3] e' l'immagine di [1,2,1] secondo l'inversa $f^-1$, come l'esercizio richiede. O se vuoi conservare quel prodotto devi sostituire la matrice con la sua inversa, cioe' quella che rappresenta l'inversa della funzione, perche' e' il suo valore in [1,2,1] che devi calcolare.

[zompetta]

ok tutto chiaro!! ti ringrazio!!