Involucro convesso
Siano A e B sottoinsiemi di uno spazio vettoriale V. Si mostri che:
co(co(A))=co(A)
co(A) incluso in co(B) se A incluso in B
co(A) U co(B) incluso in co(A U B).
Inoltre si dia un esempio in cui co(A) U co(B) ≠ co(A U B).
Chi mi aiuta?
co(co(A))=co(A)
co(A) incluso in co(B) se A incluso in B
co(A) U co(B) incluso in co(A U B).
Inoltre si dia un esempio in cui co(A) U co(B) ≠ co(A U B).
Chi mi aiuta?
Risposte
graficamente lo vedo ma come faccio a dimostrarlo rigorosamente da un punto di vista matematico?
credo sia abbastanza facile:
per il primo basta osservare che l'inviluppo convesso di un convesso è lui stesso in base alla definizione di inviluppo convesso,
il secondo idem segue dalla definizione di inviluppo convesso,
per il terzo punto
, se chiamiamo rispettivamente $C_I, C_J, C_{I \cup J}$ gli involucri convessi di$ I, J, I \cup J$, è vera la seguente relazione: $C_I \cup C_J \subset C_{I \cup J}$.
Infatti abbiamo detto che se un insieme convesso contiene $I$, allora contiene anche $C_i$, e se contiene $J$ contiene anche $C_J$. Siccome $C_{I \cup J}$ è convesso e contiene sia $I$ che $J$ (perché contiene $I \cup J$), conterrà sia $C_I$ che $C_J$ (e quindi, ovviamente, $C_I \cup C_J$).
l viceversa in generale non è vero, ed un controesempio semplicissimo è il caso in cui $I$ e $J$ siano due punti distinti nel piano. Si osserva facilmente che un punto è per definizione convesso, e che quindi i loro inviluppi convessi sono $I$ e $J$ stessi. Ma l'inviluppo convesso di $I \cup J$ sarà un segmento, ossià conterrà strettamente $I \cup J = C_I \cup C_J$.
CIAO e a presto
per il primo basta osservare che l'inviluppo convesso di un convesso è lui stesso in base alla definizione di inviluppo convesso,
il secondo idem segue dalla definizione di inviluppo convesso,
per il terzo punto
, se chiamiamo rispettivamente $C_I, C_J, C_{I \cup J}$ gli involucri convessi di$ I, J, I \cup J$, è vera la seguente relazione: $C_I \cup C_J \subset C_{I \cup J}$.
Infatti abbiamo detto che se un insieme convesso contiene $I$, allora contiene anche $C_i$, e se contiene $J$ contiene anche $C_J$. Siccome $C_{I \cup J}$ è convesso e contiene sia $I$ che $J$ (perché contiene $I \cup J$), conterrà sia $C_I$ che $C_J$ (e quindi, ovviamente, $C_I \cup C_J$).
l viceversa in generale non è vero, ed un controesempio semplicissimo è il caso in cui $I$ e $J$ siano due punti distinti nel piano. Si osserva facilmente che un punto è per definizione convesso, e che quindi i loro inviluppi convessi sono $I$ e $J$ stessi. Ma l'inviluppo convesso di $I \cup J$ sarà un segmento, ossià conterrà strettamente $I \cup J = C_I \cup C_J$.
CIAO e a presto
approfitto della tua gentilezza nella risposta..visto che avevo mandato un altro quesito sempre sulla convessità ma senza controrisposta la rivolgo a te..
Si mostri che gli insiemi
C1 = {f appartenente C([0,1]): │f(x)│≤ 1 per ogni x appartenente [0,1]}
C2 = {f appartenente C([0,1]): f(x) ≤ 0 per ogni x appartenente [0,1]}
sono insiemi convessi dello spazio vettoriale C[(0,1)].
Aiuto..
E mi è stato dato il consiglio di applicare la definizione..
ma è così che lo devo svolgere?
ad esempio per il primo insieme
│t(x) + (1-t)y│ <=t│x│ + (1-t)│y│ <= t+1-t=1
il secondo è in modo analogo
Si mostri che gli insiemi
C1 = {f appartenente C([0,1]): │f(x)│≤ 1 per ogni x appartenente [0,1]}
C2 = {f appartenente C([0,1]): f(x) ≤ 0 per ogni x appartenente [0,1]}
sono insiemi convessi dello spazio vettoriale C[(0,1)].
Aiuto..
E mi è stato dato il consiglio di applicare la definizione..
ma è così che lo devo svolgere?
ad esempio per il primo insieme
│t(x) + (1-t)y│ <=t│x│ + (1-t)│y│ <= t+1-t=1
il secondo è in modo analogo
si va bene per il primo ma per il secondo non funziona visto che hai $<=0$. potresti fare così: mostra che per $t in[0,1]$ $tf(x)+(1-t)g(x) in C2$ con $f,g in C2$.
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