Inversa matrice

[miuemia]

sia $A$ una matrice quadrata tale che al posto $(i,j)$ vi sia l'elemento $2^{|i-j|}$ per ogni $i$ e $j$.
dimostrare che $A$ ammette una inversa con coefficienti razionali. una figata di esercizio per me

[dissonance]

Ho fatto qualche esperimento e ho notato che:
fino all'ordine 10 l'inversa è sempre una matrice tridiagonale, a entrate ${-5/3, 2/3, -1/3}$; $((-1/3, 2/3, 0, ldots, 0), (2/3, -5/3, 2/3, ldots, 0), (vdots, vdots, vdots, vdots, vdots), (0,0,ldots, 2/3, -1/3))$.
Presumo che il determinante di $A=(2^(|i-j|))_{i, j=1...n}$ sia uguale a $(-1)^(n-1)*3^(n-1)$ ($n>=2$).

Quindi le idee sono:
dimostriamo la proposizione inversa, cioè che l'inversa di quella matrice tridiagonale è proprio la nostra $A$;
oppure usiamo la formula del'inversa mediante la matrice dei cofattori.
Quando ho un po' di tempo ci provo. Interessante questo esercizio.