Inversa di un prodotto di matrici

[Matint]

Buonasera,

Avrei una domanda sulle matrici.
Dato una matrice $ A=PP' $ dove P' è P trasposto.
Perché l'inverso della matrice A, $ A^-1 $, risulta $ P'^-1P^-1 $ . Non riesco a capire perché i trasposti si invertono quando troviamo l inversa, qualcuno riesce a chiarirmi le idee ?

[Lo_zio_Tom]

[xdom="tommik"]Sposto da: Statistica e Calcolo delle Probabilità[/xdom]

[Magma1]

Il prodotto riga per colonna, in genere, non è commutativo.

[Matint]

Quindi quello di applicare la trasposta alle singole matrici di un prodotto, quando inverto la matrice del prodotto,.posso prenderla come regola generale?

Comunque mi scuso per la semplicità di domande. Ma ho studiato algebra lineare anni fa, e l'ho ripresa solo ora.

[Magma1]

In sostanza $A$ $nxxn$ si dice invertibile se esiste $A^(-1) | A^(-1)A=A A^(-1)=I_n$

Se $P_i{P_(i-1) cdots [P_2(P_1A)]}=I_n$

$ rArr P_1{P_2 cdot [P_(i-1)(P_i I_n)]}=A^(-1)$

Dove le $P_i$ sono esclusivamente le matrici elementari.

In riferimento alla tua matrice

$ A=PP' $ e $A^(-1)= P'^-1P^-1 $

$A^(-1)A=[P'^(-1)P^(-1)]PP'=P'^(-1)[P^(-1) P]P'=P'^(-1)[I_n]P'=[P'^(-1)P']=I_n$