Intersezione retta e curva di terzo grado

[thedarkhero]

Se voglio intersecare nel piano proiettivo la curva $(x_1^2+x_2^2)x_1-ax_0x_2^2=0$ con la retta $x_2=0$ ottengo $x_1^3=0$ da cui $x_1=0$.
I punti di intersezione saranno dunque della forma $(?,0,0)$ ma come faccio a sapere se la prima coordinata è 0 o 1 (cioè se il punto si trova all'infinito)?

[ciampax]

Intersecando in questo modo ti accorgi che l'unica condizione va imposta a $x_1$, pertanto $x_0$ è scelto in modo arbitrario. Questo vuol dire che avrai sia l'intersezione $[0,0,0]$ che $[1,0,0]$, e quindi....

[thedarkhero]

Ma $(0,0,0)$ appartiene allo spazio proiettivo? Non dovrei escluderlo a priori?

[ciampax]

Appunto!

[thedarkhero]

E quindi l'intersezione è il punto $(1,0,0)$ con molteplicità 3, giusto?

[ciampax]

Eh già!