Intersezione circonferenza/parabola

[freddofede]

Scusate, ma data una circonferenza $y=x^{2}$ e una parabola $x^{2}+y^{2}=1$, facendo il sistema ottengo i punti di intersezione per $y=1$ e $y=0$. Eppure dovrebbe tornarmi il punto d'ascissa $\sqrt{(\frac{\sqrt{5}-1}{2})}$; com'è possibile?

[_nicola de rosa]

"lore":Scusate, ma data una circonferenza $y=x^{2}$ e una parabola $x^{2}+y^{2}=1$, facendo il sistema ottengo i punti di intersezione per $y=1$ e $y=0$. Eppure dovrebbe tornarmi il punto d'ascissa $\sqrt{(\frac{\sqrt{5}-1}{2})}$; com'è possibile?

La parabola è $y=x^{2}$ e la circonferenza $x^{2}+y^{2}=1$.

Sostituendo la parabola nella circonferenza si ha ;

$y^2+y-1=0$ da cui $y=(-1+-sqrt(5))/2$ da cui $x^2=(-1+-sqrt(5))/2$. L'equazione $x^2=(-1-sqrt(5))/2$ non fornisce soluzioni reali mentre $x^2=(-1+sqrt(5))/2$ fornisce $x=+-sqrt((-1+sqrt(5))/2)$

I punti sono allora :
$(+sqrt((-1+sqrt(5))/2),(-1+sqrt(5))/2)$
$(-sqrt((-1+sqrt(5))/2),(-1+sqrt(5))/2)$

[jivi85]

metti a sistema le due equazioni e procedi per sostituzione. Puoi sostituire $y=x^2$ nell'equazione della circonferenza, ottenendo l'equazione biquadratica $x^4+x^2-1=0$. Ponendo un parametro $t=x^2$, risolvi l'equazione di secondo grado $t^2+t-1=0$. Si ottengono le due soluzioni $t= (-1+sqrt(5))/2$ e $t=(-1-sqrt(5))/2$. Dunque $x^2=(-1-sqrt(5))/2$ si scarta, non essendo possibile che una quantità al quadrato sia pari ad un numero negativo, e resta la soluzione $x^2=(-1+sqrt(5))/2$, che ti dà l'ascissa cercata. spero di essere stato chiaro e di aver risolto il tuo dubbio.

[freddofede]

E' vero era banale, sono scivolato io in un errore concettuale nel risolvere l'equazione con le $y$, grazie.