Interpretazione geometrica Decomposizione a valori singolari
Non riesco a capire cosa significhi dal punto di vista geometrico la SVD.
Mi è chiaro come funzioni una decomposizione spettrale di una matrice $n xx m$. Detto in maniera molto intuitiva, tralasciando quindi le condizioni per cui esistono $n$ autovettori distinti, cerco gli autovettori, cioè quei vettori per cui la trasformazione lineare associata alla matrice agisce come una dilatazione/compressione o al più ribaltamento di verso del vettore stesso. A questo punto, sempre supponendo vero il fatto che questi siano una base ortonormale, trovo le coordinate rispetto questa base di un vettore, cioè le proiezioni del vettore stesso sugli autovettori. Quindi la trasformazione lineare di tale vettore può essere vista come una semplice somma di termini del tipo $lamdaP$ dove $P$ sono le proiezioni del vettore sugli autovettori e $lambda$ gli autovalori associati alla matrice. (Inciso: è per questo che si chiama decomposizione, perchè decompone rispetto alle componenti principali?)
Il punto è che con la SVD passo da uno spazio di dimensione $n$ a uno di dimensione $m$ e non riesco sinceramente a trovare un riscontro geometrico del perchè funzioni.
Scusate per il poco formalismo, primo non studio matematica, secondo sto cercando solo un significato geometrico.
Mi è chiaro come funzioni una decomposizione spettrale di una matrice $n xx m$. Detto in maniera molto intuitiva, tralasciando quindi le condizioni per cui esistono $n$ autovettori distinti, cerco gli autovettori, cioè quei vettori per cui la trasformazione lineare associata alla matrice agisce come una dilatazione/compressione o al più ribaltamento di verso del vettore stesso. A questo punto, sempre supponendo vero il fatto che questi siano una base ortonormale, trovo le coordinate rispetto questa base di un vettore, cioè le proiezioni del vettore stesso sugli autovettori. Quindi la trasformazione lineare di tale vettore può essere vista come una semplice somma di termini del tipo $lamdaP$ dove $P$ sono le proiezioni del vettore sugli autovettori e $lambda$ gli autovalori associati alla matrice. (Inciso: è per questo che si chiama decomposizione, perchè decompone rispetto alle componenti principali?)
Il punto è che con la SVD passo da uno spazio di dimensione $n$ a uno di dimensione $m$ e non riesco sinceramente a trovare un riscontro geometrico del perchè funzioni.
Scusate per il poco formalismo, primo non studio matematica, secondo sto cercando solo un significato geometrico.
Risposte
Nessuno?
Up.
Ciao, quello che c'è scritto è riferito a una matrice $nxxn$ ed è quello che ho cercato di spiegare brutalmente nel primo post.
Il punto è quando la matrice non è quadrata e/o simmetrica :S
Il punto è quando la matrice non è quadrata e/o simmetrica :S
Provo a uppare, non si sa mai..
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