Integrale di linea in R3
Ciao a tutti.
L'esercizio che adesso vi indico, credo di averlo risolto, ma vorrei che me lo confermaste.
Dato il campo vettoriale:
$vec(G)(x,y,z) = \frac{1}{x^{2}+y^{2}} ( ( -y ),( x ),( 0 ) ) $
Calcolare il lavoro di una particella che si muove in moto circolare con raggio $R$ lungo la traiettoria:
$C: \phi \rightarrow ( ( R cos \phi ),( R sin \phi ),( 0 ) ) $
nel seguente modo:
$W(\phi_{0})=\int_{C} vec(G) \cdot d vec(r)$
dove $0<\phi<\phi_{0}$
io l'ho calcolato nel seguente modo:
per prima cosa dovrei parametrizzare la traiettoria $C$, ma è già parametrizzata e dipende dal parametro $\phi$
quindi faccio dipendere dallo stesso parametro anche il campo vettoriale $vec(G)(x,y,z)$ sostituendo alle componenti del campo, le componenti della traiettoria e quindi ottengo:
$vec(G)(x,y,z) = \frac{1}{x^{2}+y^{2}} ( ( -y ),( x ),( 0 ) ) = \frac{1}{R^{2}cos^{2}\phi+R^{2}sin^{2}\phi} ( ( -R sin\phi ),( R cos\phi ),( 0 ) ) = \frac{1}{R^{2}}( ( -R sin\phi ),( R cos \phi ),( 0 ) ) = \frac{1}{R}( ( -sin \phi ),( cos \phi ),( 0 ) )$
poi definisco $vec(r)'=\frac{d vec(r)}{d\phi} \Rightarrow d vec(r) = vec(r)' d \phi$
quindi calcolo il lavoro facendo un integrale tra $0$ e $\phi_{0}$
$\int_{C} vec(G) \cdot d vec(r) = \int_{0}^{\phi_{0}} \frac{1}{R}( ( -sin \phi ),( cos \phi ),( 0 ) ) * ( ( -sin \phi ),( cos \phi ),( 0 ) )d \phi = \int_{0}^{\phi_{0}}d \phi = \phi_{0}$
vi risulta? é corretto il ragionamento?
Inoltre l'esercizio mi chiede quando il campo $vec(G)(x,y,z)$ non è definito.
A quanto ne so, un campo vettoriale non è definito quando almeno una delle sue componenti va a $\pm oo$
in questo caso però quando sia $x$ che $y$ valgono $0$, mi trovo con due forme indeterminate del tipo $\frac{0}{0}$.
Mi domandavo se posso usare la regola di de l'Hopital per risolverlo, ma non so come applicarla usando le derivate parziali. Fino ad ora l'ho usata solo in funzioni ad variabile unica.
Mi potreste dare qualche chiarimento in merito?
Grazie
L'esercizio che adesso vi indico, credo di averlo risolto, ma vorrei che me lo confermaste.
Dato il campo vettoriale:
$vec(G)(x,y,z) = \frac{1}{x^{2}+y^{2}} ( ( -y ),( x ),( 0 ) ) $
Calcolare il lavoro di una particella che si muove in moto circolare con raggio $R$ lungo la traiettoria:
$C: \phi \rightarrow ( ( R cos \phi ),( R sin \phi ),( 0 ) ) $
nel seguente modo:
$W(\phi_{0})=\int_{C} vec(G) \cdot d vec(r)$
dove $0<\phi<\phi_{0}$
io l'ho calcolato nel seguente modo:
per prima cosa dovrei parametrizzare la traiettoria $C$, ma è già parametrizzata e dipende dal parametro $\phi$
quindi faccio dipendere dallo stesso parametro anche il campo vettoriale $vec(G)(x,y,z)$ sostituendo alle componenti del campo, le componenti della traiettoria e quindi ottengo:
$vec(G)(x,y,z) = \frac{1}{x^{2}+y^{2}} ( ( -y ),( x ),( 0 ) ) = \frac{1}{R^{2}cos^{2}\phi+R^{2}sin^{2}\phi} ( ( -R sin\phi ),( R cos\phi ),( 0 ) ) = \frac{1}{R^{2}}( ( -R sin\phi ),( R cos \phi ),( 0 ) ) = \frac{1}{R}( ( -sin \phi ),( cos \phi ),( 0 ) )$
poi definisco $vec(r)'=\frac{d vec(r)}{d\phi} \Rightarrow d vec(r) = vec(r)' d \phi$
quindi calcolo il lavoro facendo un integrale tra $0$ e $\phi_{0}$
$\int_{C} vec(G) \cdot d vec(r) = \int_{0}^{\phi_{0}} \frac{1}{R}( ( -sin \phi ),( cos \phi ),( 0 ) ) * ( ( -sin \phi ),( cos \phi ),( 0 ) )d \phi = \int_{0}^{\phi_{0}}d \phi = \phi_{0}$
vi risulta? é corretto il ragionamento?
Inoltre l'esercizio mi chiede quando il campo $vec(G)(x,y,z)$ non è definito.
A quanto ne so, un campo vettoriale non è definito quando almeno una delle sue componenti va a $\pm oo$
in questo caso però quando sia $x$ che $y$ valgono $0$, mi trovo con due forme indeterminate del tipo $\frac{0}{0}$.
Mi domandavo se posso usare la regola di de l'Hopital per risolverlo, ma non so come applicarla usando le derivate parziali. Fino ad ora l'ho usata solo in funzioni ad variabile unica.
Mi potreste dare qualche chiarimento in merito?
Grazie
Risposte
Il calcolo del lavoro del campo vettoriale [tex]$\overrightarrow{G}$[/tex] è corretto.
Non ho capito il tuo dubbio!?
P.S.: Comunque hai sbagliato sezione dove postare.
Non ho capito il tuo dubbio!?
P.S.: Comunque hai sbagliato sezione dove postare.
Ciao j18eos
Grazie per la conferma.
Il mio dubbio é dato dal fatto che mi trovo una forma indeterminata se prendo sia $x$ che $y$ uguali a 0 (ovvero dove il denominatore che mi manda ad infinito il campo) ma inqusto caso anche i numeratori delle singole componenti andrebbero a 0, quindi mi trovo davanti ad una forma indeterminata.
Normalmente risolvo questo problema applicanto Hopital (quando possibile), ma non so farlo con funzioni in piú variabili. Devo derivare in modo parziale rispetto a quale incognita?
P.S. questa non ße la sezione di geometria? credo che i campi vettoriali faccio parte di geometria
Grazie per la conferma.
Il mio dubbio é dato dal fatto che mi trovo una forma indeterminata se prendo sia $x$ che $y$ uguali a 0 (ovvero dove il denominatore che mi manda ad infinito il campo) ma inqusto caso anche i numeratori delle singole componenti andrebbero a 0, quindi mi trovo davanti ad una forma indeterminata.
Normalmente risolvo questo problema applicanto Hopital (quando possibile), ma non so farlo con funzioni in piú variabili. Devo derivare in modo parziale rispetto a quale incognita?
P.S. questa non ße la sezione di geometria? credo che i campi vettoriali faccio parte di geometria
Semplicemente il campo vettoriale non è definito in [tex]$(0;0)$[/tex]. Ti faccio notare che [tex]$(0;0)\not\in C$[/tex] quindi non hai nessun problema di forma indeterminata, quando ti capita una forma indeterminata in più variabili non è applicabile De L'Hôpital.
Nel caso in esame, prova a calcolarti [tex]$\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}\overrightarrow G(x;y)$[/tex] e [tex]$\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}\overrightarrow G(x;y)$[/tex], secondo l'ordine proposto e vedi che accade.
P.S.: La sezione giusta sarebbe analisi matematica o fisica matematica!
Nel caso in esame, prova a calcolarti [tex]$\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}\overrightarrow G(x;y)$[/tex] e [tex]$\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}\overrightarrow G(x;y)$[/tex], secondo l'ordine proposto e vedi che accade.
P.S.: La sezione giusta sarebbe analisi matematica o fisica matematica!
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