Insiemi chiusi con la topologia euclidea su R...inf

[angus89]

Allora, voglio dimostrare il seguente fatto che il mio testo usa di frequente

Se ho un insieme chiuso nella topologia euclidea, lo chiamiamo $C$, e ho che questo insieme è tutto contenuto (strettamente) in un intervallo chiuso (ad esempio $[a,b]$)
Allora infC è contenuto in C

riscritto
$C$ chiuso, $C \subset [a,b]$ $=>$ inf $C \in C$

[Gatto891]

Beh esiste sempre una successione di elementi di $C$ che tende a $\text{inf}(C)$, poichè $C$ è limitato tale successione tende a un valore finito e poichè $C$ è chiuso tale elemento appartiene all'insieme...

[angus89]

sapevo che non avrei fatto in tempo ad avvisare

Certo, usando i punti di accumulazione è banale, anzi segue dalla definizione stessa di chiuso e limitato...

Se invece non sono ancora stati definiti diventa un pò più complesso.
Ad esempio gli aperti di R come li definisci?
Li definisci mediante una base, ad esempio quella degli intervalli aperti.
Quindi un insieme è aperto se è unione di intervalli aperti.

Ecco il chiuso lo definisci come il complementare di un aperto.

Con questi presupposti diventa un pò più difficile farlo (magari è semplice ma a me non viene di dimostrarlo)

[rubik2]

se $t="inf"(C)$ non sta in $C$ sta nel suo complementare che è aperto quindi esiste un intorno $(c,d)$ di $t$ interamente contenuto nel complementare di $C$ e questo è assurdo in quanto implica che $"inf"C>=d>t$

[cirasa]

Una caratterizzazione dei chiusi è: $C$ è chiuso se e solo se $\bar{C}=C$, dove $\bar{C}$ è l'insieme dei punti di aderenza, cioè
$x_0\in\bar{C}$ se e solo se, per definizione, $A\cap C\ne\emptyset$ per ogni aperto $A$

Prova a verificare che, detto $x_0=$inf$C$ (è un numero finito, perchè $C\subset[a,b]$) allora $x_0\in\bar{C}$.

PS Scusa "rubik", ci siamo sovrapposti

[dissonance]

E per complicare ancora di più il tutto aggiungo una caratterizzazione topologica di inf e sup: $"sup"(A)"$ è l'unico maggiorante di $A$ che appartiene anche alla chiusura di $A$, $"inf"(A)$ è l'unico minorante di $A$ che appartiene anche alla chiusura di $A$. In altre parole nel post di cirasa vale il se e solo se.