Insiemi chiusi
Dovrei dimostrare che un insieme $A$ è chiuso se e soltanto se comunque si prenda una successione a valori in $A$ e convergente, il limite della successione è ancora un elemento dell'insieme.
Solo che io pensavo che questa fosse la definizione di insieme chiuso, pertanto non saprei dove mettere le mani... Qualcuno potrebbe darmi una dritta?
Solo che io pensavo che questa fosse la definizione di insieme chiuso, pertanto non saprei dove mettere le mani... Qualcuno potrebbe darmi una dritta?
Risposte
"Sergio":
Direi che tutto dipende dalla definizione di insieme chiuso. Ad esempio, a me a lezione è stato detto che $A$ è chiuso se $A^c$ è aperto.
A me invece è stato detto che $A$ è aperto se $A^c$ è chiuso...
Comunque ti ringrazio per la dimostrazione, nel caso mi venissero altri dubbi mi faccio risentire.
Appena ho tempo la guardo con calma, grazie Kroldar.
"Tipper":
Dovrei dimostrare che un insieme $A$ è chiuso se e soltanto se comunque si prenda una successione a valori in $A$ e convergente, il limite della successione è ancora un elemento dell'insieme.
anche io pensavo che questa fosse la definizione...(anzi questa è la definizione)
probabilmente dovresti dimostrare che questa definizione è equivalente ad un altra....
"Sergio":
Tipper, perdonami se provo ad aggiungere qualcosa.
E cosa ti dovrei perdonare, più cose si dicono, meglio è!
"Sergio":
Diciamo che mi sembra comodo (obbligatorio?) escludere il caso di $A=emptyset$.
non c'è nessun bisogno (per fortuna!) di escludere questo caso.
Se le millanta equivalenze funzionassero solo per insiemi non vuoti sarebbe un macello.
"Sergio":Sì, esattamente questo. La solita storia: ex falso sequitur quodlibet.
Forse.... $A=emptyset$ è chiuso perché non posso prendere alcuna successione a valori in $A$ che sia convergente e il cui limite non appartenga ad $A$...
Ci tengo a ribadire che ero tremendamente serio quando sottolineavo la straordinaria comodità che il vuoto sia un insieme chiuso (anche aperto, tra l'altro).
Visto che siamo in tema, ne approfitto: è corretto dire che in uno spazio topologico $(X, \tau)$ gli unici insiemi aperti e chiusi sono $X$ e $\emptyset$?
No.
In ogni spazio topologico $(X, \tau)$, $X$ e $\emptyset$ sono sia chiusi che aperti. Ma possono essercene altri.
E' tuttavia oltremodo interessante avere un topo in cui gli unici insiemi aperti e chiusi sono $X$ e $\emptyset$. Tanto è vero che un topino siffatto viene detto connesso!!!
L'idea è che, se ho un sottoinsieme $E$ di $(X, \tau)$, diverso $X$ e $\emptyset$, che sia contemporaneamente aperto e chiuso, allora $E$ ed il suo complementare $E^c$ sono due aperti che, per così dire, spezzano $X$ in due parti. Quindi $X$ è "sconnesso".
In ogni spazio topologico $(X, \tau)$, $X$ e $\emptyset$ sono sia chiusi che aperti. Ma possono essercene altri.
E' tuttavia oltremodo interessante avere un topo in cui gli unici insiemi aperti e chiusi sono $X$ e $\emptyset$. Tanto è vero che un topino siffatto viene detto connesso!!!
L'idea è che, se ho un sottoinsieme $E$ di $(X, \tau)$, diverso $X$ e $\emptyset$, che sia contemporaneamente aperto e chiuso, allora $E$ ed il suo complementare $E^c$ sono due aperti che, per così dire, spezzano $X$ in due parti. Quindi $X$ è "sconnesso".
Interessante, quando ho un po' di tempo vedo di approfondire la questione (di cui sono molto a digiuno). In ogni caso grazie per il chiarimento.
"Sergio":Qualche volta? Non hai idea di che sforzo ho fatto a trattenermi mentre ti rispondevo, avendo davanti un filosofo che parla dell'insieme vuoto...
Va be', magari qualche volta scherzi anche tu su queste cose
"Tipper":
Dovrei dimostrare che un insieme $A$ è chiuso se e soltanto se comunque si prenda una successione a valori in $A$ e convergente, il limite della successione è ancora un elemento dell'insieme.
Solo che io pensavo che questa fosse la definizione di insieme chiuso, pertanto non saprei dove mettere le mani... Qualcuno potrebbe darmi una dritta?
per la dimostrazione alla fine devi basarti sul fatto che $A$ è chiuso sse $A=A'UA^°$
quindi se $A'subA$ allora da ogni punto $p\inA'$ puoi costuire una successione convergente a p a valori in A, se A è infinito e limitato.
penso che come punto di partenza nn è troppo fuori strada
"Fioravante Patrone":
In ogni spazio topologico $(X, \tau)$, $X$ e $\emptyset$ sono sia chiusi che aperti. Ma possono essercene altri.
Già, per esempio se tutti i sottoinsiemi sono aperti (topologia discreta), essi sono anche chiusi.
Aggiungerei solo che se lo spazio non è di Hausdorff è possibile non avere unicità del limite, quindi non ha senso porsi la domanda in esame (faccio riferimento al primo post di Tipper).
"Fioravante Patrone":Qualche volta? Non hai idea di che sforzo ho fatto a trattenermi mentre ti rispondevo, avendo davanti un filosofo che parla dell'insieme vuoto...
[quote="Sergio"]
Va be', magari qualche volta scherzi anche tu su queste cose
[/quote]hiihih filosofo del vuoto..
allora batto tutti quando ho chiesto al mio prof se l'insieme vuoto può considerarsi connesso
...
a proposito secondo voi?...
per me formalmente si, se si considera che i due insiemi disgiunti possono anche essere vuoti, a quel punto ci si accorge che il vuoto non può essere partito da 2 insiemi disgiunti che non sian il vuoto stesso, quindi il vuoto è connesso...
o no?
il prof mi ha guardato dicendomi: ...è solo una trascendenza inutile del vuoto...
ma per giocare è divertente
"Martino":
[quote="Fioravante Patrone"]In ogni spazio topologico $(X, \tau)$, $X$ e $\emptyset$ sono sia chiusi che aperti. Ma possono essercene altri.
Già, per esempio se tutti i sottoinsiemi sono aperti (topologia discreta), essi sono anche chiusi.
Aggiungerei solo che se lo spazio non è di Hausdorff è possibile non avere unicità del limite, quindi non ha senso porsi la domanda in esame (faccio riferimento al primo post di Tipper).[/quote]
se però si restringe a uno spazio metrico il senso ce l'ha... o sbaglio?
ps lo spazio di Hausdorff in cosa consiste? piccolo OT
Martino ha richiamato la mia attenzione su un aspetto importante, rispetto alla domanda iniziale di Tipper.
Immagino che a Tipper fosse richiesto di provare l'equivalenza fra le due definizioni in $RR^n$.
In effetti, "un insieme è chiuso se e solo se è sequenzialmente chiuso" è una affermazione valida per i sottoinsiemi di $RR^n$ e, più in generale, per gli spazi metrici.
Ma può essere falsa in uno spazio topologico qualsiasi (anche se di Hausdorff).
Immagino che a Tipper fosse richiesto di provare l'equivalenza fra le due definizioni in $RR^n$.
In effetti, "un insieme è chiuso se e solo se è sequenzialmente chiuso" è una affermazione valida per i sottoinsiemi di $RR^n$ e, più in generale, per gli spazi metrici.
Ma può essere falsa in uno spazio topologico qualsiasi (anche se di Hausdorff).
"Fioravante Patrone":
Immagino che a Tipper fosse richiesto di provare l'equivalenza fra le due definizioni in $RR^n$.
Sì, in dimensione finita.
"fu^2":C'è poco da ridere.
l'insieme vuoto può considerarsi connesso
Intanto, dire "può considerarsi" è del tutto fuori luogo. E' un'espressione che è meglio non usare, in mate.
La domanda corretta è se l'insieme vuoto è connesso.
E la risposta è ovviamente sì, per le ragioni che dicevi.
"Fioravante Patrone":C'è poco da ridere.
[quote="fu^2"]l'insieme vuoto può considerarsi connesso
Intanto, dire "può considerarsi" è del tutto fuori luogo. E' un'espressione che è meglio non usare, in mate.
La domanda corretta è se l'insieme vuoto è connesso.
E la risposta è ovviamente sì, per le ragioni che dicevi.[/quote]
giusta puntualizzazione
"fu^2":
ps lo spazio di Hausdorff in cosa consiste? piccolo OT
Si tratta di uno spazio topologico X tale che presi comunque due punti x e y in X, esistono due aperti U e V tali che:
1) $x \in U$
2) $y \in V$
3) $U \cap V=\emptyset$
Quando uno spazio è di Hausdorff si dice anche che è T2. Se uno spazio è T2 allora è T1, ovvero i suoi punti sono chiusi.
Credo comunque che per avere unicità del limite basti che lo spazio sia T1. Ma non ne sono sicuro.
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