Insiemi chiusi
Dovrei dimostrare che un insieme $A$ è chiuso se e soltanto se comunque si prenda una successione a valori in $A$ e convergente, il limite della successione è ancora un elemento dell'insieme.
Solo che io pensavo che questa fosse la definizione di insieme chiuso, pertanto non saprei dove mettere le mani... Qualcuno potrebbe darmi una dritta?
Solo che io pensavo che questa fosse la definizione di insieme chiuso, pertanto non saprei dove mettere le mani... Qualcuno potrebbe darmi una dritta?
Risposte
"Martino":
[quote="fu^2"]ps lo spazio di Hausdorff in cosa consiste? piccolo OT
Si tratta di uno spazio topologico X tale che presi comunque due punti x e y in X, esistono due aperti U e V tali che:
1) $x \in U$
2) $y \in V$
3) $U \cap V=\emptyset$
Quando uno spazio è di Hausdorff si dice anche che è T2. Se uno spazio è T2 allora è T1, ovvero i suoi punti sono chiusi.
Credo comunque che per avere unicità del limite basti che lo spazio sia T1. Ma non ne sono sicuro.[/quote]
aaa... insomma è abbastanza simile a quello che conoscevo io di Hausdorff... che è la prorpietà sua
per vedere bene tutti gli spazi mi sa che devo aspettar dopo il corso di analisi (in cui ho visto solo spazi metrici)
grazie mille della definizione... molto interessante
ma ora torniam in topic
"Sergio":TRUE
In effetti, nella mia "dimostrazione" avevo precisato che parlavo di spazi metrici
"fu^2":
aaa... insomma è abbastanza simile a quello che conoscevo io di Hausdorff... che è la prorpietà sua
per vedere bene tutti gli spazi mi sa che devo aspettar dopo il corso di analisi (in cui ho visto solo spazi metrici)
grazie mille della definizione... molto interessante
ma ora torniam in topic
esco un attimo dal topic
, a chi è interessato e vorrebbe perderci un pò di tempo al riguardo, consiglio vivamente di compare il libretto"Elementary topology" di M.C. Gemignani della Dover Publ., che io ho pagato a soli 12 euro!! utilissimo per chi fa matematica e semplice
per chi è ingegnere o altro.
scusate, la breve interruzione pubblicitaria..
Rieccomi... Nel caso di spazi metrici di dimensione finita, chiusura e completezza sono equivalenti?
"Tipper":
Rieccomi... Nel caso di spazi metrici di dimensione finita, chiusura e completezza sono equivalenti?
Precisazione. Hai già usato un'altra volta il termine "spazi metrici di dimensione finita". E' improprio.
Tu ti vuoi riferire ad $RR^n$, che è uno spazio vettoriale di dimensione finita, e sul quale è messa la metrica euclidea (la solita, per capirci).
Ora, si dà il caso che $RR^n$, con la metrica solita, sia uno spazio metrico completo.
Pertanto, i suoi sottoinsiemi chiusi sono spazi metrici completi (dim. facile, usando la caratterizzazione della chiusura mediante successioni).
Il viceversa vale anche.
Ma se fossimo in un diverso "ambiente", intendo dire se lo spazio metrico $X$ dove si sta lavorando non fosse completo, non è vero. Per l'ovvia ragione che $X$ è chiuso e non sarà completo, visto che non lo è...
Esempio: $QQ^n$.
Ti ringrazio per l'intervento e per la precisazione, ma (sperando che non stia rompendo troppo 
) mi piacerebbe avere un chiarimento riguardo un aspetto (più che altro vorrei capire se ho capito...).
L'insieme $\mathbb{Q}$ non è completo, per via della nota successione $\{(1 + \frac{1}{n})^n\}$ che è di Cauchy ma non è convergente, e qui ci sono (almeno spero
).
Da qui in poi ci sono due cosette di cui non sono certo...
L'insieme $\mathbb{Q}$ non è chiuso relativamente ad $\mathbb{R}$, per farlo vedere basta prendere una successione convergente in $\mathbb{R}$, a valori in $\mathbb{Q}$ e di Cauchy, che ammette come punto limite un irrazionale, e una tale successione può essere quella di prima.
Contemporaneamente però $\mathbb{Q}$ è chiuso relativamente a $\mathbb{Q}$ nel senso che ogni successione convergente a valori in $\mathbb{Q}$ converge ad un razionale, ed il giochino con la successione precedente non si può più ripetere, perché adesso non è convergente...
È corretto quello che ho capito o ci sono ancora strafalcioni?
) mi piacerebbe avere un chiarimento riguardo un aspetto (più che altro vorrei capire se ho capito...).L'insieme $\mathbb{Q}$ non è completo, per via della nota successione $\{(1 + \frac{1}{n})^n\}$ che è di Cauchy ma non è convergente, e qui ci sono (almeno spero
).Da qui in poi ci sono due cosette di cui non sono certo...
L'insieme $\mathbb{Q}$ non è chiuso relativamente ad $\mathbb{R}$, per farlo vedere basta prendere una successione convergente in $\mathbb{R}$, a valori in $\mathbb{Q}$ e di Cauchy, che ammette come punto limite un irrazionale, e una tale successione può essere quella di prima.
Contemporaneamente però $\mathbb{Q}$ è chiuso relativamente a $\mathbb{Q}$ nel senso che ogni successione convergente a valori in $\mathbb{Q}$ converge ad un razionale, ed il giochino con la successione precedente non si può più ripetere, perché adesso non è convergente...
È corretto quello che ho capito o ci sono ancora strafalcioni?
io di strafalcioni non ne ho visto
Oh, menomale... Sollevo un'ultima questione e poi prometto di non rompere più... fino alla prossima settimana (no scherzo, la smetto sul serio! ).
Per quanto riguarda il linguaggio improprio, sarebbe stato corretto parlare di spazi metrici in dimensione finita (anziché di, come avevo detto più volte)?
Sollevo un'ultima questione e poi prometto di non rompere più... fino alla prossima settimana (no scherzo, la smetto sul serio! ).Per quanto riguarda il linguaggio improprio, sarebbe stato corretto parlare di spazi metrici in dimensione finita (anziché di, come avevo detto più volte)?
"Tipper":Scriverò dunque un piccolo trattatello...
Per quanto riguarda il linguaggio improprio, sarebbe stato corretto parlare di spazi metrici in dimensione finita (anzich di, come avevo detto più volte)?
Io, come ormai dovrebbe sapere ogni consumatore abituale del forum, apprezzo il punto di vista strutturale.
Cioè, detto alla buona, se ho un insieme su cui ho messo delle strutture, posso parlare di proprietà relative a quella struttura.
Se ho uno spazio vettoriale non ho problemi a parlare di dimensione (ovviamente nel senso solito che si usa per gli spazi vettoriali). Non posso però parlare di convergenza, di insiemi aperti etc. Perché non ho introdotto una struttura topologica, ma ho solo una struttura di spazio vettoriale.
Le cose cambiano se ho uno spazio euclideo (sp vettoriale su cui è definito un prodotto scalare). In tal caso, posso parlare di "cose topologiche" perché c'è un modo canonico per introdurre una norma, quindi una metrica, quindi una topologia su uno spazio euclideo. Insomma, se parlo di successione convergente in uno spazio euclideo è ovvio che mi sto riferendo alla metrica indotta dal prodotto scalare (sennò, dovrei essere gentile ed avvisare...).
Parliamo ora di spazio metrico. Su uno spazio metrico non posso, in generale, definire in modo canonico una struttura di spazio vettoriale. Quindi non posso parlare di dimensione di uno spazio metrico riferendomi all'idea di dimensione di uno spazio vettoriale.
E se ho uno spazio metrico che è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale? Beh, se è anche un sottospazio, posso usare la struttura di spazio vettoriale. Ma se è solo un sottoinsieme qualsiasi, meglio evitare rischi.
Aggiungo che è possibile parlare di dimensione di uno spazio topologico (e quindi anche di uno spazio metrico), ma si tratta ovviamente di una cosa diversa dalla nozione di dimensione "da spazio vettoriale". E' roba che mi ero studiato tempi fa, ma non mi è mai capitato di usarla, e quindi mi sono anche dimenticato come sia fatta (ricordo che una definizione è data per induzione, ma mi pare si possa fare anche con ricoprimenti, ma 'ste cose sono in una parte del mio cervello dove ci sono ragnatele, scarafaggi e topi).
"Fioravante Patrone":
Aggiungo che è possibile parlare di dimensione di uno spazio topologico (e quindi anche di uno spazio metrico), ma si tratta ovviamente di una cosa diversa dalla nozione di dimensione "da spazio vettoriale".
Su questo argomento, di grande interesse, si possono consultare, tra l'altro, i due testi seguenti:
Engelking, Theory of Dimensions
Pears, Dimension theory of general spaces
Ok, ho capito, grazie (soprattutto per la pazienza). 
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