Insieme lipschitziane denso
Ciao, amici! Non sono certo se fosse meglio postare qui o in analisi e mi scuso con i moderatori se avessi sbagliato...
Leggo che l'insieme $M=\cup_{K}M_K$ di tutte le funzioni lipschitziane per un certo $K$ è denso ovunque in \(C[a,b]\).
Ciò mi rendo conto che significa che per ogni funzione $g\inC[a,b]$ e $\forall\epsilon>0$ possiamo trovare una funzione che soddisfa la condizione di Lipschitz per un certo $K$ e tale che $\max_{t\in[a,b]}|f(t)-g(t)|<\epsilon$, ma non riesco a verificare questo fatto...
$\infty$ grazie per ogni aiuto!!!
Leggo che l'insieme $M=\cup_{K}M_K$ di tutte le funzioni lipschitziane per un certo $K$ è denso ovunque in \(C[a,b]\).
Ciò mi rendo conto che significa che per ogni funzione $g\inC[a,b]$ e $\forall\epsilon>0$ possiamo trovare una funzione che soddisfa la condizione di Lipschitz per un certo $K$ e tale che $\max_{t\in[a,b]}|f(t)-g(t)|<\epsilon$, ma non riesco a verificare questo fatto...
$\infty$ grazie per ogni aiuto!!!
Risposte
Usa il teorema di Stone-Wierstrass...
Lo conosco dai miei studi di analisi numerica, ma non mi veniva in mente! Ogni funzione polinomiale $P$ è naturalmente di classe $C^{\infty}[a,b]$ e quindi limitata. Oltretutto noto interessantemente che quanto detto si estende allo spazio delle funzioni continue su un intervallo chiuso a valori complessi grazie al fatto che \(d(f,P)\leq d(\text{Re}f,\text{Re}P) + d(\text{Im}f,\text{Im}P) \).
Grazie di cuore!!!
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