Insieme dei vettori ortogonali
L'esercizio dice: provare che l'isieme dei vettori ortogonali a u (1 , 2, -2) è sottospazio di R3 e determinare una base e dimensione.
Ora due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare è uguale a zero.
In questo caso faccio il prodotto scalare tra u ed il vettore (x,y,z) di R3 e l'equzione x+2y-2z la pongo uguale a 0! poi come proseguo ?
Ora due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare è uguale a zero.
In questo caso faccio il prodotto scalare tra u ed il vettore (x,y,z) di R3 e l'equzione x+2y-2z la pongo uguale a 0! poi come proseguo ?
Risposte
Ora i passaggi sono sostanzialmente 2:
1. determinare se $V: x+2y-2z=0$ è sottospazio
2. trovare una base
Per il punto 1 devi usare la definizione di sottospazio, ovvero verificare se il vettore nullo è contenuto, ecc. ecc. (rivedi la teoria). E' molto tranquilla come cosa.
Per il punto 2, consiglio di mettere l'equazione in forma parametrica e la base ti esce in maniera naturale. La dimensione poi la sai dal numero di vettori della base.
Paola
1. determinare se $V: x+2y-2z=0$ è sottospazio
2. trovare una base
Per il punto 1 devi usare la definizione di sottospazio, ovvero verificare se il vettore nullo è contenuto, ecc. ecc. (rivedi la teoria). E' molto tranquilla come cosa.
Per il punto 2, consiglio di mettere l'equazione in forma parametrica e la base ti esce in maniera naturale. La dimensione poi la sai dal numero di vettori della base.
Paola
grazie mille Paola, ma precisamente cosa intendi per equazione in forma parametrica?
Il procedimento generale è il seguente: supponiamo di avere un sottospazio vettoriale V immerso nello spazio vettoriale $W$ di dimensione $n$(qui $W=\mathbb{R}^3$) espresso da $k$ equazioni indipendenti (qui $k=1$). Consideriamo dunque $n-k$ variabili come parametri e ricaviamo le rimanenti $k$ in funzione unicamente di queste.
L'esempio è più chiaro: considero (è arbitrario) $y,z$ come parametri e riscrivo il sistema così
$\{(x=-2\lambda_1+2\lambda_2),(y=\lambda_1),(z=\lambda_2):}$
La dimensione del sottospazio è uguale al numero di variabili libere, in questo caso $2$. Il sistema può essere scritto come
$((x),(y),(z))=\lambda_1 ((-2),(1),(0))+\lambda_2 ((2),(0),(1))$
dunque eccoti due generatori del sottospazio.
Paola
L'esempio è più chiaro: considero (è arbitrario) $y,z$ come parametri e riscrivo il sistema così
$\{(x=-2\lambda_1+2\lambda_2),(y=\lambda_1),(z=\lambda_2):}$
La dimensione del sottospazio è uguale al numero di variabili libere, in questo caso $2$. Il sistema può essere scritto come
$((x),(y),(z))=\lambda_1 ((-2),(1),(0))+\lambda_2 ((2),(0),(1))$
dunque eccoti due generatori del sottospazio.
Paola
grazie mille !! sei mitica..
ps: ti ho inviato un mp! se gentilmente mi rispondi, poi ti faccio una statua d'oro
ps: ti ho inviato un mp! se gentilmente mi rispondi, poi ti faccio una statua d'oro
Non ho nuovi MP nella mia casella. Comunque se hai altri problemi è preferibile che tu scriva un post e attendi che qualcuno risponda.
Paola
Paola
capisco, volevo fare così, ma ho trovato sul forum un esercizio simile a quello ke devo risolvere dove hai risposto tu,ed alcuni passaggi nn mi erano kiari e nn volevo scrtivere un nuovo post!
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