Insieme convesso

[prapa1]

questo insieme è convesso?

S (-$oo$ ,1)
se si mi fate la dimostrazione per favore

[dissonance]

Se intendi l'insieme $S=(-infty, 1)$, sì è convesso. Infatti comunque scegli due punti distinti $a, b\inS$ tutto il segmento $ab$ è ancora in $S$. Questo perché se, ad esempio, $a

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[prapa1]

ok grazie mille

[dissonance]

Ah scusami c'è un errore: il segmento non è $(a, b)$ ma $[a,b]$. Quando uno dice "segmento", in genere si intende con gli estremi inclusi, mi pare.

[prapa1]

si credo di si, ma tanto il risultato è lo stesso no?

[prapa1]

comunque scusami un attimo:
io so che un insieme S è convesso se essendo due pun ti appartennti all'insieme , per esempio a e b, e avendo
un $\lambda$€[0,1]

l'insieme è convesso se (1-$\lambda$)a+ $\lambda$b € S giusto? Dove S =(-$oo$,1)

quindi ipostizzando che a
devo dimostrare che
-$oo$<(1-$\lambda$)a+ $\lambda$b<1

se $\lambda$ =1 o = 0 ok si dimostra facilmente
ma se $\lambda$ €(0,1) mi sono intortata non riesco a dimostrarlo

perchè avrei che $\lambda$b ma come faccio a dire che $\lambda$b + (1-$\lambda$)a <1

[dissonance]

Dobbiamo mostrare che, quando facciamo viaggiare $lambda$ in $[0,1]$, $(1-lambda)a+lambdab$ descrive esattamente l'intervallo $[a, b]$ (anzi, questo è un omeomorfismo tra i due intervalli). Questo fatto si può dimostrare in vari modi. Quello secondo me più semplice è osservare che la funzione $lambda\mapsto(1-lambda)a+lambdab$ è continua e perciò manda intervalli in intervalli.

[dissonance]

Ah oppure, ancora più semplicemente:
scriviamo $(1-lambda)a+lambdab=a+lambda(b-a)$. Siccome $a
P.S.: Attenzione che così abbiamo dimostrato una cosa più debole, ovvero che per ogni $lambda\in[0,1]$, $(1-lambda)a+lambdab$ è in $[a, b]$. Osservando che la funzione è continua invece dimostriamo anche l'inclusione opposta.