Insieme compatto con |E'|=|N|

[keccogrin-votailprof]

L'esercizio che vi presento è questo:
Costruire un insieme compatto di numeri reali i cui punti di accumulazione formino un insieme numerabile.
Io ho pensato a questo esempio, ma non so se è corretto:
Siano [tex]E_{2} = \{1/2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} t.c. n = 1, 2, 3, \dots \}[/tex] e in generale [tex]E_{m} = \{1/m + \frac{m-1}{m} \cdot \frac{1}{n} t.c. n = 1, 2, 3, \dots \}[/tex].
Allora l'unione [tex]\bigcup E_{m}[/tex] dovrebbe essere un insieme chiuso, perché contiene tutti i suoi punti di accumulazione, limitato, perché contenuto nell'intervallo [tex][0,1][/tex], e i suoi punti di accumulazione sono un insieme numerabile, in particolare sono [tex]E' = \{1/n : n=2, 3, 4, \dots\}[/tex].
E' giusto? C'era qualcosa di più semplice?
Grazie.

[merdino]

Prendi \(x\in (1/n,1/(n+1))\), non è di accumulazione. Sappiamo già che forma hanno i punti di quell'intervallo quindi posso trovare un intorno di \(O\ni x\) che contiene solo lui, allora \(O\cap K\backslash x=\emptyset\).

[_GaS_11]

@j18eos.

Effettivamente sono proprio gli spazi ambiente da considerare che mi causano confusione.
1 - Allora mi sembra di capire che l'essere chiuso dipende dallo spazio ambiente considerato ( anche perché la definizione di chiuso si basa su quella dell'insieme complementare aperto ). Così è da scartare quel discorso sulla definizione e l'esistenza di oggetti: la definizione stabilisce l'ambiente, pertanto preclude l'esistenza di alcuni oggetti.
2 - Dipende anche dalla metrica l'essere o meno chiuso: ad esempio in '' $(RR,d)$ '' con la metrica discreta '' $d:RR*RRtoRR:AAx,yinRR,d=0iffx=y,d=1iffx!=y$ '' '' $QQsubRR$ '' è sia aperto che chiuso in '' $RR$ ''; infatti '' $AAqinQQsub(RR,d)$ '' ponendo '' $0 3 - Invarianza per omeomorfismi per me è alienese al momento! Prima o poi ( si spera prima ) li studierò.
4 - Un qualsiasi spazio metrico '' $(X,d)$ '', con metrica qualunque, è sia aperto che chiuso in se stesso? Penso di sì.
In virtù di quanto discusso, metto fuori dallo spoiler l'ultimo argomento.

Evidentemente la soluzione da me proposta non era quella che volevo. Prima spiego cosa intendo, poi riporto in matematichese. L'insieme ambiente in cui si lavora è '' $(Q,d)$ '' con '' $d$ '' metrica euclidea. Gli irrazionali sono esclusi dall'ambiente. Sia '' $E=[a,b]sub(Q,d)$ ''. Dunque '' $E$ '' è chiuso in '' $QQ$ '' e limitato. Inoltre '' $AAr>0,AAqinE,EEk!=q:kinB(q,r)$ '', quindi qualsiasi sottoinsieme '' $E_isubE$ '':$E_i'!=varphi$. Quindi sono soddisfatte tutte le condizioni per la compattezza. '' $E~QQ$ '', ovvero '' $E$ '' ha la potenza del numerabile.
Giusto?
Ti ringrazio per l'attenzione e la pazienza che stai dimostrando.

[keccogrin-votailprof]

Scusate se riprendo la discussione solo ora...
Ringrazio per le risposte @j18eos:

"j18eos":
\[ \bigcup_{p\in\mathbb{P}}\left\{\frac{1}{p}-\frac{1}{p^n}\in\mathbb{Q}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset[0;1]. \]

e @merdino:

"merdino":\[ \left \{\frac{1}{n}-\frac{1}{m},m>n(n+1)\right\}_{n,m \in \mathbb{N}} \]

perché mi hanno fornito due esempi di insiemi compatti di numeri reali con insieme derivato numerabile.
Per quanto riguarda ciò che ha scritto @_GaS_ :

"_GaS_":4 - Un qualsiasi spazio metrico '' $ (X,d) $ '', con metrica qualunque, è sia aperto che chiuso in se stesso? Penso di sì.

Cito dal libro su cui sto studiando: "ogni spazio metrico è un sottoinsieme chiuso di se stesso e un sottoinsieme aperto di se stesso."

"_GaS_":
Sia '' $ E=[a,b]sub(Q,d) $ ''. Dunque '' $ E $ '' è chiuso in '' $ QQ $ '' e limitato.
[...]
'' $ E~QQ $ '', ovvero '' $ E $ '' ha la potenza del numerabile.

Il tuo esempio secondo me è un insieme limitato e numerabile ma non è chiuso. Quindi non è compatto.

[_GaS_11]

Ti ringrazio per la risposta alla domanda '' 4 ''.
Però nello spazio metrico ( insieme ambiente ) in cui sto lavorando ( un sottoinsieme di '' $(Q,d)$ '' ) non esistono gli irrazionali.
Quindi in '' $E$ '' per ogni intorno di ogni suo punto vengono inglobati sempre e solo numeri razionali. Quindi '' $E'subeE$ '', da cui '' $E$ '' chiuso. Però questo argomento vale soltanto se è corretto il discorso fatto nel mio ultimo spoiler, relativo all'insieme ambiente scelto.

[j18eos]

@_Gas_ L'insieme \(\displaystyle E\) è numerabile, chiuso e limitato in \(\displaystyle\mathbb{Q}\) con la metrica euclidea; ma sei sicuro che \(\displaystyle E\) sia compatto? È un esercizietto!

@Edmond Dantès Prego, di nulla!

EDIT Corretta una svista.

[_GaS_11]

Tre condizioni necessarie da soddisfare affinché '' $E=[a,b]sub(QQ,d)$ '', con '' $(QQ,d)$ '' spazio metrico con metrica euclidea, sia compatto:
1 - Chiuso.
2 - Limitato.
3 - Ogni sottoinsieme infinito di '' $E$ '' deve avere il relativo derivato non nullo.
- PRIMA CONDIZIONE.
Ricordiamo che lo spazio ambiente è '' $QQ$ '', quindi non ci sono gli irrazionali.
$AAqinE,AAr>0,EEk!=q:kinB(q,r)$. Questo l'ho ricavato dal teorema della densità di '' $RR$ '': tra due reali ci sono infiniti razionali e irrazionali. In questo caso, allora tra due razionali ci sono infiniti razionali. Inoltre sia '' $yinE^c$ '' e consideriamo la distanza con un estremo di '' $E$ '', ovvero '' $d(y,a)=r_m$ ''. Allora:
$EEr,0 - SECONDA CONDIZIONE.
$diamE=|b-a|;0 - TERZA CONDIZIONE.
Sia '' $A=(a_1,b_1)$ '' . Il caso è analogo a '' $E$ '', si tratta soltanto di un insieme '' più piccolo '': $(a_1,b_1)subeE$.
Quindi '' $A'!=varphi$ ''.
Sia '' $A$ '' non connesso. Consideriamo i suoi sottoinsiemi che lo costituiscono: $uuu_{n=1}^(+oo)A_n$. almeno un '' $A_i,1<=i<+oo$ '' deve essere un insieme infinito, in quanto '' $A$ '' è infinito per ipotesi.
Necessariamente '' $0 Siano: $delta_1=d(p_1,p_2);delta_2=d(p_2,p_3);...;delta_n=d(p_n,p_(n+1));...)$. Ovvero le distanze tra i punti successivi di '' $A_i$ ''. Le somme di queste distanze sono legate al diametro di '' $A_i$ ''. Per '' $ntooo$ '' possono presentarsi i seguenti casi:
- $sum_{n=1}^(+oo)delta_n=+oo$. Assurdo, in quanto '' $0 - $sum_{n=1}^(+oo)delta_n=diamA_i,00:d(alpha^((k)),alpha^((k+1)))>epsilon$. Quindi: $A_i'=varphi$. Ovvero esistono sottoinsiemi infiniti di '' $E$ '' il cui insieme derivato è vuoto. Quindi '' $E$ '' non è compatto.
Giusto?
Scusa, una domandina: nel mio post con l'ultimo spoiler era corretto il discorso sulla metrica, dalla quale può dipendere se un insieme sia chiuso o meno? Insomma, l'esempio della metrica discreta che prima ho fatto.
Ti ringrazio.

[j18eos]

@merdino Senza offesa: non ho capito il tuo ragionamento; ma comunque hai ragione, non solo intuitivamente: ho verificato in modo formale.

@_GaS_ Da dove devo iniziare?! Dallo spoiler: tutto corretto : )
Il teorema di classificazione degli insiemi compatti (Borel-Heine-Lebesgue-Pincherle) vale per ogni spazio metrico o uno in particolare?
Conosci un esempio di insieme chiuso che non contenga un suo punto di accumulazione?
Puoi considerare con tutta tranquillità gli estremi inferiore e superiore di un insieme di numeri razionali?

Venendo all'esempio in cui si dimostra che un "intervallo chiuso" e limitato di numeri razionali non è compatto in \(\displaystyle\mathbb{Q}\) con la metrica euclidea: considerato l'insieme \(\displaystyle[1;2]\cap\mathbb{Q}=E\) sia \(\displaystyle a_n\) il numero razionale ottenuto da \(\displaystyle\sqrt{2}\) troncato all'\(\displaystyle n\)-sima cifra decimale, per chiarezza \(\displaystyle a_0=1\)...

[_GaS_11]

Ho modificato il messaggio del '' 16/08/2013; 13:41 '' per non generare disordine nel topic.
@j18eos.
Ho capito cosa mi ha mandato in confusione, il fatto che ho risolto con una successione convergente. Ma bastava aggiungere un tassello: può essere convergente ad un elemento che non appartiene a '' $QQ$ ''? In questo caso ( basta prendere un irrazionale ) abbiamo che il punto di accumulazione non appartiene a '' $QQ$ '', quindi non c'è e l'insieme di conseguenza non è compatto. Un altro motivo per il quale ho modificato il messaggio è per il fatto che avevo l'obbligo di far tornare le cose dall'altro punto di vista. Quindi l'ultimo favore che ti chiedo è se puoi guardare un attimo la dimostrazione, della quale sono convinto.
Ti ringrazio, poiché questo topic è stato istruttivo.

[j18eos]

@_GaS_ Le condizioni che tu enunzi sono necessarie; in certi spazi metrici possono anche essere sufficienti... modulo la mia memoria.

Ti rammento che non puoi considerare sfacciatamente gli estremi inferiore e superiore di un insieme di numeri razionali.

Senza cambiare i nomi, per dimostrare che \(\displaystyle E\) è chiuso basta dimostrare che il suo complementare è chiuso; senza andare a calcolare i punti di accumulazione.

[_GaS_11]

Ti rammento che non puoi considerare sfacciatamente gli estremi inferiore e superiore di un insieme di numeri razionali.

Infatti gli estremi inferiore e superiore, se sono irrazionali, non esistono in '' $E$ ''. Siamo nello spazio ambiente '' $QQ$ ''.
Quindi nel sottoinsieme infinito delle troncate di '' $alpha$ '' non c'è il valore limite, quindi non c'è il punto di accumulazione.
Allora tale sottoinsieme ha il derivato vuoto, quindi '' $E$ '' non è compatto. Cosa non torna?

Senza cambiare i nomi, per dimostrare che E è chiuso basta dimostrare che il suo complementare è chiuso; senza andare a calcolare i punti di accumulazione.

Il complementare non dovrebbe essere aperto in questo caso? Comunque, per capire, devo far tornare le cose dal punto di vista dei punti d'accumulazione. Nella '' prima condizione '' del mio post risulta '' $E'=E$ ''. Ciò segue dal fatto che qui non esistono gli irrazionali e che tra due razionali vi sono infiniti razionali ( da cui: in un intorno qualsiasi di un razionale ricadono infiniti razionali ).

@_GaS_ Le condizioni che tu enunzi sono necessarie; in certi spazi metrici possono anche essere sufficienti... modulo la mia memoria.

Sul mio libro:
Sia '' $(X,d)$ '' uno spazio metrico e sia '' $EsubeX$ '' non vuoto. Se '' $E$ '' è compatto allora:
- '' $E$ '' è limitato.
- '' $E$ '' è chiuso.
- Per ogni sottoinsieme infinito '' $AsubeE$ '' si ha '' $A'!=varphi$ ''.
Effettivamente non c'è scritto '' se e solo se ''.
Quindi se non si tratta di un sottoinsieme di '' $RR^n$ '' non si può dimostrare che un insieme è compatto?
Però il problema non è questo, perché la terza condizione dovrebbe venire a mancare, quindi verrebbe meno una condizione necessaria.
Scusa se ti sto stressando, ma voglio soltanto capire la questione che sto affrontando.

[j18eos]

"_GaS_":...$INFE<=INFA Questo non puoi scriverlo (in \(\displaystyle\mathbb{Q}\))!

Una dimostrazione alternativa del primo punto!

Per definizione di topologia indotta, gli insiemi del tipo \(\displaystyle]a;b[\cap\mathbb{Q}\) sono aperti in \(\displaystyle\mathbb{Q}\); in particolare \(\displaystyle]-\infty;a[\cap\mathbb{Q}\) è aperto, passando al complementare ottieni che \(\displaystyle[a;+\infty[\cap\mathbb{Q}\) è chiuso; dato che le intersezioni finite di chiusi sono chiuse hai che \(\displaystyle[a;b]\cap\mathbb{Q}\) è chiuso.
Il tutto è avvenuto nello spazio topologico \(\displaystyle(\mathbb{Q};\mathcal{T}_{\text{nat}})\).

Il terzo punto è semplificabile dicendo che ragioni sulle componenti connesse di \(\displaystyle A\).

[_GaS_11]

"j18eos":[quote="_GaS_"]...$ INFE<=INFA...
Questo non puoi scriverlo (in \( \displaystyle\mathbb{Q} \))!

[/quote]
Il bello è che io stesso ho scritto che se l'estremo inferiore o superiore è un irrazionale non esiste in '' $QQ$ ''!
Finisco qui.
Aggiungo al mio bagaglio di conoscenze anche la tua dimostrazione, tuttavia mantenendo per buona anche la mia.
Grazie di tutto.

[j18eos]

Prego di nulla;

comunque ho visto che ti sei abbastanza appassionato alla compattezza.