Insieme chiusi
Gli insiemi chiusi in $RR$ possiedono un'importante caratterizzazione.
Dimostriamo il seguente teorema:
per un insieme E incluso in $RR^n$ valgono le seguenti tre condizioni, equivalenti fra loro:
$i)$ E è chiuso [Se E è chiuso vorrà dire che il suo complementare $CE$ sia aperto, ovvero ogni $x$ appartenente a $CE$ è punto interno a $CE$].
$ii)$ L'insieme dei punti di frontiera di E è incluso in E $dE \subset E$
$iii)$ ogni punto di accumulazione di E appartiene ad E $DE \subset E$
Per dimostrare il teorema occorre far vedere che $i)=>ii)$, $ii)=> iii)$, $iii)=>i)$
$i)=>ii)$ Sia E chiuso e x deve appartere all'insieme dei punti di frontiera (altrimenti l'insieme E sarebbe vuoto... è questo il motivo per cui x appartiene all'insieme dei punti di frontiera?). Allora esistono due possibilità per il punto x: o è isolato (e in tal caso x appartiene ad E) oppure x è di accumulazione per E. Poiché $x \in dCE=dE$, essendo $CE$ aperto (quindi ogni x appartenente a CE è punto interno), dunque x non appartiene al complementare di E, bensì appartiene ad E (dicendo che appartiene ad E abbiamo appena affermato che x sia un punto isolato?)
$ii)=> iii)$ Sia $dE \subset E$ e x è di accumulazione per E(perché è di accumulazione? A causa del fatto che l'insieme dei punti di frontiera sia contenuto in E?) (quindi procedendo verso il centro dell'intorno troveremo almeno un punto di E distinto da x). Essendo x non isolato (perché di accumulazione) o è interno ($x \in E$) o di frontiera: anche se fosse di frontiera $x \in E$ poiché $x \in dE$ e $dE \subset E$.
$iii)=>i)$ $DE \subset E$, sia ogni punto di accumulazione di E appartenente ad E. Sia $x \in CE$ (perché????? è una ipotesi?); vogliamo dimostrare che x è interno a CE. Se non lo fosse ogni intorno di conterrebbe punti di E e poiché $x \in CE$, x non apparterebbe a E, contro l'ipotesi.
Questo teorema mi ha fatto accumulare un po' di dubbi
.. grazie a chi mi aiuterà
Dimostriamo il seguente teorema:
per un insieme E incluso in $RR^n$ valgono le seguenti tre condizioni, equivalenti fra loro:
$i)$ E è chiuso [Se E è chiuso vorrà dire che il suo complementare $CE$ sia aperto, ovvero ogni $x$ appartenente a $CE$ è punto interno a $CE$].
$ii)$ L'insieme dei punti di frontiera di E è incluso in E $dE \subset E$
$iii)$ ogni punto di accumulazione di E appartiene ad E $DE \subset E$
Per dimostrare il teorema occorre far vedere che $i)=>ii)$, $ii)=> iii)$, $iii)=>i)$
$i)=>ii)$ Sia E chiuso e x deve appartere all'insieme dei punti di frontiera (altrimenti l'insieme E sarebbe vuoto... è questo il motivo per cui x appartiene all'insieme dei punti di frontiera?). Allora esistono due possibilità per il punto x: o è isolato (e in tal caso x appartiene ad E) oppure x è di accumulazione per E. Poiché $x \in dCE=dE$, essendo $CE$ aperto (quindi ogni x appartenente a CE è punto interno), dunque x non appartiene al complementare di E, bensì appartiene ad E (dicendo che appartiene ad E abbiamo appena affermato che x sia un punto isolato?)
$ii)=> iii)$ Sia $dE \subset E$ e x è di accumulazione per E(perché è di accumulazione? A causa del fatto che l'insieme dei punti di frontiera sia contenuto in E?) (quindi procedendo verso il centro dell'intorno troveremo almeno un punto di E distinto da x). Essendo x non isolato (perché di accumulazione) o è interno ($x \in E$) o di frontiera: anche se fosse di frontiera $x \in E$ poiché $x \in dE$ e $dE \subset E$.
$iii)=>i)$ $DE \subset E$, sia ogni punto di accumulazione di E appartenente ad E. Sia $x \in CE$ (perché????? è una ipotesi?); vogliamo dimostrare che x è interno a CE. Se non lo fosse ogni intorno di conterrebbe punti di E e poiché $x \in CE$, x non apparterebbe a E, contro l'ipotesi.
Questo teorema mi ha fatto accumulare un po' di dubbi
.. grazie a chi mi aiuterà
Risposte
someone? lo so che sono argomenti un po' noiosetti 
Mai pensato fosse noioso...
$x$ appartiene ai punti di frontiera perché è definito così... Nel caso $E = O/$ o $E = RR^n$ allora $x in d(RR^n - E) = dE = O/$ quindi $x$ non esisterebbe.
$x$ è o isolato o punto di accumulazione.
Se $x$ è isolato allora $x in E$
Se $x$ è punto di accumulazione (dai segni che hai usato presumo $x in DE$), noi sappiamo che $x in dE = d(RR^n - E)$.
Prendiamo in considerazione $(RR^n - E)$. Un aperto contiene soltanto punti interni e quindi x, che appartiene, alla frontiera non può appartenere a $(RR^n - E)$.
Ma se $x !in (RR^n - E)$ deve per forza essere $x in E$.
Tirando le somme abbiamo dimostrato che $x in E$ sia nel caso che sia punto di accumulazione sia nel caso in cui sia isolato. Quindi $E$ chiuso $=>$ $AA x in dE$ $x in E$ $=>$ $dE sub E$.
$x$ è sempre definito così... non so se sei tu che non hai mai visto una dimostrazione o se è il tuo prof che spiega di M**
Vedilo come un prendiamo un $x$ punto di accumulazione per $E$.
Semplicemente $x$ deve essere o interno o di frontiera. Se è interno $x in E$ se è di frontiera $x in dE sub E$ $=>$ $x in E$ per ipotesi. Quindi $AA x in DE$ appartiene a $E$.
Questo non l'ho capita Dopo questa credo sia il tuo prof che spieghi male. Vediamo di spiegarlo meglio...
Ricapitoliamo cosa vogliamo dimostrare. Se un insieme $E$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione allora $E$ è chiuso.
Quindi ipotizziamo che $DE sub E$. Cosa sappiamo?
Che se $x in (RR^n - E)$ $=>$ $x !in DE$.
Qualsiasi punto $x in (RR^n - E)$ non può essere punto di accumulazione di $E$, quindi deve per forza esistere, per ogn'uno di essi, un intorno di $x$ che ha intersezione nulla con $E$. Ma questo vuol dire che ogni $x in (RR^n - E)$ è interno a $(RR^n - E)$, ma ogni insieme che contiene solo punti interni è aperto e quindi il suo complementare è chiuso. Questo conclude la dimostrazione.
Spero di essere stato più chiaro del tuo professore o libro.
"Bob_inch":
$i)=>ii)$ Sia E chiuso e x deve appartere all'insieme dei punti di frontiera (altrimenti l'insieme E sarebbe vuoto... è questo il motivo per cui x appartiene all'insieme dei punti di frontiera?). Allora esistono due possibilità per il punto x: o è isolato (e in tal caso x appartiene ad E) oppure x è di accumulazione per E. Poiché $x \in dCE=dE$, essendo $CE$ aperto (quindi ogni x appartenente a CE è punto interno), dunque x non appartiene al complementare di E, bensì appartiene ad E (dicendo che appartiene ad E abbiamo appena affermato che x sia un punto isolato?)
$x$ appartiene ai punti di frontiera perché è definito così... Nel caso $E = O/$ o $E = RR^n$ allora $x in d(RR^n - E) = dE = O/$ quindi $x$ non esisterebbe.
$x$ è o isolato o punto di accumulazione.
Se $x$ è isolato allora $x in E$
Se $x$ è punto di accumulazione (dai segni che hai usato presumo $x in DE$), noi sappiamo che $x in dE = d(RR^n - E)$.
Prendiamo in considerazione $(RR^n - E)$. Un aperto contiene soltanto punti interni e quindi x, che appartiene, alla frontiera non può appartenere a $(RR^n - E)$.
Ma se $x !in (RR^n - E)$ deve per forza essere $x in E$.
Tirando le somme abbiamo dimostrato che $x in E$ sia nel caso che sia punto di accumulazione sia nel caso in cui sia isolato. Quindi $E$ chiuso $=>$ $AA x in dE$ $x in E$ $=>$ $dE sub E$.
"Bob_inch":
$ii)=> iii)$ Sia $dE \subset E$ e x è di accumulazione per E(perché è di accumulazione? A causa del fatto che l'insieme dei punti di frontiera sia contenuto in E?) (quindi procedendo verso il centro dell'intorno troveremo almeno un punto di E distinto da x). Essendo x non isolato (perché di accumulazione) o è interno ($x \in E$) o di frontiera: anche se fosse di frontiera $x \in E$ poiché $x \in dE$ e $dE \subset E$.
$x$ è sempre definito così... non so se sei tu che non hai mai visto una dimostrazione o se è il tuo prof che spiega di M**
Vedilo come un prendiamo un $x$ punto di accumulazione per $E$.
Semplicemente $x$ deve essere o interno o di frontiera. Se è interno $x in E$ se è di frontiera $x in dE sub E$ $=>$ $x in E$ per ipotesi. Quindi $AA x in DE$ appartiene a $E$.
"Bob_inch":
$iii)=>i)$ $DE \subset E$, sia ogni punto di accumulazione di E appartenente ad E. Sia $x \in CE$ (perché????? è una ipotesi?); vogliamo dimostrare che x è interno a CE. Se non lo fosse ogni intorno di conterrebbe punti di E e poiché $x \in CE$, x non apparterebbe a E, contro l'ipotesi.
Questo non l'ho capita
Dopo questa credo sia il tuo prof che spieghi male. Vediamo di spiegarlo meglio...Ricapitoliamo cosa vogliamo dimostrare. Se un insieme $E$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione allora $E$ è chiuso.
Quindi ipotizziamo che $DE sub E$. Cosa sappiamo?
Che se $x in (RR^n - E)$ $=>$ $x !in DE$.
Qualsiasi punto $x in (RR^n - E)$ non può essere punto di accumulazione di $E$, quindi deve per forza esistere, per ogn'uno di essi, un intorno di $x$ che ha intersezione nulla con $E$. Ma questo vuol dire che ogni $x in (RR^n - E)$ è interno a $(RR^n - E)$, ma ogni insieme che contiene solo punti interni è aperto e quindi il suo complementare è chiuso. Questo conclude la dimostrazione.
Spero di essere stato più chiaro del tuo professore o libro.
Per definizione:
$(A subset B) <=> (x in A => x in B)$
nella fattispecie bisogna mostrare che dall'ipotesi $x in dA$ ottieni $x in A$
se poi A è l'insieme vuoto non hai alcun problema: la premessa ($x in A$) sarà falsa,e una implicazione con premessa falsa è sempre vera.
$(A subset B) <=> (x in A => x in B)$
nella fattispecie bisogna mostrare che dall'ipotesi $x in dA$ ottieni $x in A$
se poi A è l'insieme vuoto non hai alcun problema: la premessa ($x in A$) sarà falsa,e una implicazione con premessa falsa è sempre vera.
"Gaal Dornick":
Per definizione:
$(A subset B) <=> (x in A => x in B)$
nella fattispecie bisogna mostrare che dall'ipotesi $x in dA$ ottieni $x in A$
se poi A è l'insieme vuoto non hai alcun problema: la premessa ($x in A$) sarà falsa,e una implicazione con premessa falsa è sempre vera.
In analisi 3 ho studiato che un insieme chiuso è unione dei punti interni e di frontiera ma in topologia la definizione di chiuso è diversa: un insieme chiuso è il complementare di un aperto. Dopo di che se un punto non sta nell'aperto deve essere dentro il suo complementare quindi le due definizioni sono equivalenti.
Prima ho solamente esplicitato meglio questa relazione.
Si, giustissimo, volevo solo chiarire questa questione:
"vict85":
$x$ appartiene ai punti di frontiera perché è definito così...
"Gaal Dornick":[/quote]
Si, giustissimo, volevo solo chiarire questa questione:
[quote="vict85"]$x$ appartiene ai punti di frontiera perché è definito così...
Semplicemente un insieme chiuso in $RR^n$ che non sia formato da un numero finito di punti isolati ha una quantità infinita di punti.
Ne puoi scegliere a caso.
Se non prendiamo x come punti di frontiera dovremmo fare un caso in più e cioè che x sia interno. Ma questo non è interessante e quindi lo ignoriamo dicendo che x appartiene alla frontiera.
Comunque in realtà si può dimostrare dicendo che un aperto non contiene la sua frontiera (cosa che sappiamo perché punti esterni, interni e frontiera sono partizioni di $RR^n$ e un aperto è fatto solo di punti interni) e che quindi la frontiera deve essere contenuta nel suo complementare (cioé l'insieme chiuso).
Esempi di aperti e chiusi in $RR$...
$(a, b)$ è aperto
$(a, b)uu(c, d)uu(e, oo)$ è aperto
$[a, b]$ è chiuso
$(-oo, a]uu[b,oo)$ è chiuso
$[a,b]uu{c}$ è chiuso
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