Iniettività, nucleo ed immagine di applicazione lineare
Salve ragazzi. Premetto che ho cercato sul forum qualche topic che potesse aiutarmi ma non ho trovato specificatamente quello che cercavo. Vorrei, se possibile, qualche consiglio sul seguente esercizio:
Sia \( \ F: R_2 [x]\rightarrow R_2 [x] \) l'applicazione lineare definita da
\( \ F (1+2x)=2-hx+hx \)
\( \ F(1-x)=3+hx \)
\( \ F(1+x^2)=hx+x^2 \)
con h parametro reale. Per quali valori di h l'applicazione F è iniettiva? Determinare al variare di h, il nucleo e l'immagine di F.
Volevo sapere se il procedimento che ho utilizzato per risolverlo è corretto. Come prima cosa associo ad ogni polinomio di \( R_2[x] \) le sue componenti rispetto alla base canonica; in questo modo avrò associato ad ogni polinomio un vettore, in modo da poter lavorare in \( R^3 \)
\( \ F (1,2,0)=(2,-h,h) \)
\( \ F(1,-1,0)=(3,h,0) \)
\( \ F(1,0,1)=(0,h,1) \)
Verifico che i vettori \( v_1=(1,2,0)\), \( v_2=(1,-1,0)\) e \( v_3=(1,0,1)\) formino una base di \( R^3 \). Verificata questa condizione scrivo quindi la matrice associata alla base precedentemente analizzata espressa rispetto alla base canonica che sarà quindi composta dalle immagini dei vettori \( v_1\), \( v_2\) e \( v_3\) e cioè sarà:
\( \ M_b^c(F)= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ -h & h & h \\ h & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Calcolo il derminate della matrice e trovo \( \det M_b^c(F) =h(3h+5) \)
Considero che per \( \ h\neq 0 \) e \( \ h\neq -5/3 \) il determinante è diverso da zero quindi la matrice avrà rango 3 e di conseguenza avrò che \( \dim \ Im (F)=3 \) e quindi \( \ Im (F)=R^3 \) (F suriettiva); per il teorema della nullità del rango invece \( \dim \ ker (F)=3-3=0 \) (F iniettiva).
Determino quindi l'immagine ed il nucleo di F che saranno:
\( \ Im(F)=< (2,-h,h), (3,h,0), (0,h,1)> \)
\( \ ker(F)=< (0,0,0)> \)
Considero adesso i valori di h che annullano il determinante e trovo che per \( \ h= 0 \):
\( \ M_b^c(F)= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
che ha rango uguale a 2 e di conseguenza avrò \( \dim \ Im (F)=2 \) (F non suriettiva) e \( \dim \ ker (F)=3-2=1 \) (F non iniettiva). Avrò quindi:
\( \ Im(F)=< (2,0,0), (0,0,1)> \)
Per trovare invece il nucleo di F risolvo \( \ M_b^c(F)*(x,y,z)^t=(0,0,0)\) da cui ricavo il seguente sistema:
\( \begin{cases} 2x+3y=0 \\ z=0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} x=-3/2t \\ y=t \\ z=0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \ (x,y,z)=(-3/2,1,0)t \)
Il nucleo di F sarà quindi dato da \( \ ker(F)=< -3/2*v_1+1*v_2> =< -3/2(1,2,0)+1(1,-1,0)>= <(-1/2,-4,0)>\)
Per \( \ h=-5/3 \) le considerazioni da fare sono le medesime, cambia solo la matrice ed ovviamente nucleo ed immagine quindi non le riporto. Tutte le basi ed i nuclei trovati in funzione del parametro h le ho poi "riportate" nello spazio dei polinomi \( R_2 [x]\).
Vorrei sapere se ho commesso qualche tipo di errore di natura concettuale e non. Vi ringrazio in anticipo.
Sia \( \ F: R_2 [x]\rightarrow R_2 [x] \) l'applicazione lineare definita da
\( \ F (1+2x)=2-hx+hx \)
\( \ F(1-x)=3+hx \)
\( \ F(1+x^2)=hx+x^2 \)
con h parametro reale. Per quali valori di h l'applicazione F è iniettiva? Determinare al variare di h, il nucleo e l'immagine di F.
Volevo sapere se il procedimento che ho utilizzato per risolverlo è corretto. Come prima cosa associo ad ogni polinomio di \( R_2[x] \) le sue componenti rispetto alla base canonica; in questo modo avrò associato ad ogni polinomio un vettore, in modo da poter lavorare in \( R^3 \)
\( \ F (1,2,0)=(2,-h,h) \)
\( \ F(1,-1,0)=(3,h,0) \)
\( \ F(1,0,1)=(0,h,1) \)
Verifico che i vettori \( v_1=(1,2,0)\), \( v_2=(1,-1,0)\) e \( v_3=(1,0,1)\) formino una base di \( R^3 \). Verificata questa condizione scrivo quindi la matrice associata alla base precedentemente analizzata espressa rispetto alla base canonica che sarà quindi composta dalle immagini dei vettori \( v_1\), \( v_2\) e \( v_3\) e cioè sarà:
\( \ M_b^c(F)= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ -h & h & h \\ h & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Calcolo il derminate della matrice e trovo \( \det M_b^c(F) =h(3h+5) \)
Considero che per \( \ h\neq 0 \) e \( \ h\neq -5/3 \) il determinante è diverso da zero quindi la matrice avrà rango 3 e di conseguenza avrò che \( \dim \ Im (F)=3 \) e quindi \( \ Im (F)=R^3 \) (F suriettiva); per il teorema della nullità del rango invece \( \dim \ ker (F)=3-3=0 \) (F iniettiva).
Determino quindi l'immagine ed il nucleo di F che saranno:
\( \ Im(F)=< (2,-h,h), (3,h,0), (0,h,1)> \)
\( \ ker(F)=< (0,0,0)> \)
Considero adesso i valori di h che annullano il determinante e trovo che per \( \ h= 0 \):
\( \ M_b^c(F)= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
che ha rango uguale a 2 e di conseguenza avrò \( \dim \ Im (F)=2 \) (F non suriettiva) e \( \dim \ ker (F)=3-2=1 \) (F non iniettiva). Avrò quindi:
\( \ Im(F)=< (2,0,0), (0,0,1)> \)
Per trovare invece il nucleo di F risolvo \( \ M_b^c(F)*(x,y,z)^t=(0,0,0)\) da cui ricavo il seguente sistema:
\( \begin{cases} 2x+3y=0 \\ z=0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} x=-3/2t \\ y=t \\ z=0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \ (x,y,z)=(-3/2,1,0)t \)
Il nucleo di F sarà quindi dato da \( \ ker(F)=< -3/2*v_1+1*v_2> =< -3/2(1,2,0)+1(1,-1,0)>= <(-1/2,-4,0)>\)
Per \( \ h=-5/3 \) le considerazioni da fare sono le medesime, cambia solo la matrice ed ovviamente nucleo ed immagine quindi non le riporto. Tutte le basi ed i nuclei trovati in funzione del parametro h le ho poi "riportate" nello spazio dei polinomi \( R_2 [x]\).
Vorrei sapere se ho commesso qualche tipo di errore di natura concettuale e non. Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Mi sembra sia tutto corretto, ma qui smetto di seguirti:
Anche secondo me tutto il nucleo dell'applicazione e' generato dal vettore
\[ \mathbf{k} := \begin{bmatrix} -1.5 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
--d'altro canto sai dal primo teorema d'isomorfismo (come osservavi tu prima) che \( \operatorname{dim} \operatorname{ker} (f) = 1 \). Quindi, usando la notazione che hai usato tu
\[ \operatorname{ker} = \langle \mathbf{k} \rangle \]
Che dici?
"Anaklukes":
Il nucleo di F sarà quindi dato da \( \ ker(F)=< -3/2*v_1+1*v_2> =< -3/2(1,2,0)+1(1,-1,0)>= <(-1/2,-4,0)>\)
Anche secondo me tutto il nucleo dell'applicazione e' generato dal vettore
\[ \mathbf{k} := \begin{bmatrix} -1.5 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
--d'altro canto sai dal primo teorema d'isomorfismo (come osservavi tu prima) che \( \operatorname{dim} \operatorname{ker} (f) = 1 \). Quindi, usando la notazione che hai usato tu
\[ \operatorname{ker} = \langle \mathbf{k} \rangle \]
Che dici?
Intanto grazie della risposta.
Per quello che riguarda l'ultimo passaggio che hai messo in evidenza ho scritto il nucleo in quel modo poichè mi sembrava che poichè ho usato la matrice rispetto alla base B ed alla base canonica C, tutto quello che è nell'insieme di partenza, e quindi gli elementi del nucleo il nucleo, andasse espresso rispetto alla base B. Quindi trovato che \( \ker (F)= (-3/2,1,0) \) ho fatto la combinazione lineare con i vettori della base composta dai vettori \( v_1=(1,2,0)\), \( v_2=(1,-1,0)\) e \( v_3=(1,0,1)\) cioè:
\( \ -3/2(1,2,0)+1(1,-1,0)+0(1,0,1)=(-1/2,-4,0) \)
Spero di non essere stato confusionario, ma questo è il motivo che mi ha portato a fare questo passaggio.
Per quello che riguarda l'ultimo passaggio che hai messo in evidenza ho scritto il nucleo in quel modo poichè mi sembrava che poichè ho usato la matrice rispetto alla base B ed alla base canonica C, tutto quello che è nell'insieme di partenza, e quindi gli elementi del nucleo il nucleo, andasse espresso rispetto alla base B. Quindi trovato che \( \ker (F)= (-3/2,1,0) \) ho fatto la combinazione lineare con i vettori della base composta dai vettori \( v_1=(1,2,0)\), \( v_2=(1,-1,0)\) e \( v_3=(1,0,1)\) cioè:
\( \ -3/2(1,2,0)+1(1,-1,0)+0(1,0,1)=(-1/2,-4,0) \)
Spero di non essere stato confusionario, ma questo è il motivo che mi ha portato a fare questo passaggio.
Ma guarda che il nucleo e' uno spazio vettoriale, non un singolo vettore. Poi
\[ \ker F < \mathbb{R}_2[x] \]
--e non puo' essere un insieme di \( n \)-ple. Al piu', mettendo insieme anche la precisazione qui sopra, sara'
\[ \ker \mathcal{M}_{ \mathcal{B} }^{ \mathcal{E} } (F) = \langle \mathbf{k} \rangle \qquad \mathbf{k} = \begin{bmatrix} -1.5 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
Ora ...
Mhn. Al momento non capisco perche' ti verrebbe in mente di fare una cosa del genere. Prova a spiegarti meglio ...
Cioe' hai fatto
--a scriverlo in Python.
Quella non e' una combinazione lineare, al piu' e' il prodotto
\[ \begin{bmatrix} -1.5 & 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 \\ \mathbf{v}_2 \\ \mathbf{v}_3\end{bmatrix} \]
Se tu volessi esprimere
\[ \begin{bmatrix} -1.5 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
come combinazione lineare di \( \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \} \) mi pare sia
\[ -\frac{1}{6} \mathbf{v}_1 -\frac{4}{3} \mathbf{v}_2 + 0 \, \mathbf{v}_3 \]
Ma questo a che ti serve? Tu vuoi capire come sia fatto il \( \ker \), e vuoi farlo fornendo un set che funzioni da base. Cioe', vuoi fornire \( m \) vettori che combinati linearmente * ti diano tutto lo spazio. Qui sai che lo spazio e' generato prendendo un solo vettore e ottenendo gli altri scaldandolo o raffreddandolo --la dimensione e' \( 1 \). Ne conosci gia' uno che sta nel \( \ker \) --e' il vettore \( \mathbf{k} \). Tutti gli altri sono del tipo \( \alpha \, \mathbf{k} \); stop.
___
Giusto per capirci: combinare linearmente un set di \( m \) vettori \( \{ \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_m \} \) significa prendere un po' di \( \mathbf{v}_1 \) piu' un altro po' di \( \mathbf{v}_2 \) ... piu piu' piu' ... piu' un altro po' di \( \mathbf{v}_m \), cioe'
\[ \alpha_1 \, \mathbf{v}_1 + \ldots + \alpha_m \, \mathbf{v}_m \qquad \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m \in \mathbb{R} \]
\[ \ker F < \mathbb{R}_2[x] \]
--e non puo' essere un insieme di \( n \)-ple. Al piu', mettendo insieme anche la precisazione qui sopra, sara'
\[ \ker \mathcal{M}_{ \mathcal{B} }^{ \mathcal{E} } (F) = \langle \mathbf{k} \rangle \qquad \mathbf{k} = \begin{bmatrix} -1.5 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
Ora ...
"Anaklukes":
... che poichè ho usato la matrice rispetto alla base B ed alla base canonica C, tutto quello che è nell'insieme di partenza, e quindi gli elementi del nucleo il nucleo, andasse espresso rispetto alla base B.
Mhn. Al momento non capisco perche' ti verrebbe in mente di fare una cosa del genere. Prova a spiegarti meglio ...
... ho fatto la combinazione lineare con i vettori della base composta dai vettori \( v_1=(1,2,0)\), \( v_2=(1,-1,0)\) e \( v_3=(1,0,1)\) cioè:
\( \ -3/2(1,2,0)+1(1,-1,0)+0(1,0,1)=(-1/2,-4,0) \)
Cioe' hai fatto
sum( [ a + b for (a, b) in zip( [-1.5, 1, 0], [v_1, v_2, v_3] ) ] )
--a scriverlo in Python.
Quella non e' una combinazione lineare, al piu' e' il prodotto
\[ \begin{bmatrix} -1.5 & 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 \\ \mathbf{v}_2 \\ \mathbf{v}_3\end{bmatrix} \]
Se tu volessi esprimere
\[ \begin{bmatrix} -1.5 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
come combinazione lineare di \( \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \} \) mi pare sia
\[ -\frac{1}{6} \mathbf{v}_1 -\frac{4}{3} \mathbf{v}_2 + 0 \, \mathbf{v}_3 \]
Ma questo a che ti serve? Tu vuoi capire come sia fatto il \( \ker \), e vuoi farlo fornendo un set che funzioni da base. Cioe', vuoi fornire \( m \) vettori che combinati linearmente * ti diano tutto lo spazio. Qui sai che lo spazio e' generato prendendo un solo vettore e ottenendo gli altri scaldandolo o raffreddandolo --la dimensione e' \( 1 \). Ne conosci gia' uno che sta nel \( \ker \) --e' il vettore \( \mathbf{k} \). Tutti gli altri sono del tipo \( \alpha \, \mathbf{k} \); stop.
___
Giusto per capirci: combinare linearmente un set di \( m \) vettori \( \{ \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_m \} \) significa prendere un po' di \( \mathbf{v}_1 \) piu' un altro po' di \( \mathbf{v}_2 \) ... piu piu' piu' ... piu' un altro po' di \( \mathbf{v}_m \), cioe'
\[ \alpha_1 \, \mathbf{v}_1 + \ldots + \alpha_m \, \mathbf{v}_m \qquad \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m \in \mathbb{R} \]
Si perdonami sono stato avaro di simbologia e di completezza quindi ho fatto ancora più confusione e grande mostra di ignoranza.
Riparto dal punto in cui trovo il nucleo \( \ ker(F)=< (-3/2,1,0)> \)
E' una cosa che di preciso non sono riuscito a capire in effetti ma in pratica rivedendo alcune esercitazioni fatte in aula ed esercizi del genere quando usiamo la matrice associata ad un'applicazione lineare espressa rispetto ad una base B ed alla base canonica, come in questo caso, risolto il sistema usiamo i valori trovati come scalari per fare la combinazione lineare dei vettori del dominio che in questo caso sono \( v_1=(1,2,0)\), \( v_2=(1,-1,0)\) e \( v_3=(1,0,1)\) e quindi troviamo che:
\( \ ker(F)=< -3/2*v_1+1*v_2> =< -3/2(1,2,0)+1(1,-1,0)>= <(-1/2,-4,0)>\)
Adesso purtroppo non so dirti molto di piu' poichè per questa tipologia di esercizi non ho preso appunti a sufficienza e non riesco ad arrivarci dalla teoria, però se non ricordo male la professoressa ci disse che tutto quello che riguarda l'immagine, quindi l'insieme di arrivo, lo possiamo esprime mediante la base canonica, ma tutto quello che è nell'insieme di partenza deve espresso in B e quindi per vado a fare quel tipo di operazione finale.
Può darsi che si riferisca alla base del nucleo che va espressa in questa maniera?
Ad ogni modo ti chiedo ancora scusa ma non riesco ad essere piu' preciso di così e ti ringrazio ancora per il tempo perso dietro questo esercizio.
Riparto dal punto in cui trovo il nucleo \( \ ker(F)=< (-3/2,1,0)> \)
E' una cosa che di preciso non sono riuscito a capire in effetti ma in pratica rivedendo alcune esercitazioni fatte in aula ed esercizi del genere quando usiamo la matrice associata ad un'applicazione lineare espressa rispetto ad una base B ed alla base canonica, come in questo caso, risolto il sistema usiamo i valori trovati come scalari per fare la combinazione lineare dei vettori del dominio che in questo caso sono \( v_1=(1,2,0)\), \( v_2=(1,-1,0)\) e \( v_3=(1,0,1)\) e quindi troviamo che:
\( \ ker(F)=< -3/2*v_1+1*v_2> =< -3/2(1,2,0)+1(1,-1,0)>= <(-1/2,-4,0)>\)
Adesso purtroppo non so dirti molto di piu' poichè per questa tipologia di esercizi non ho preso appunti a sufficienza e non riesco ad arrivarci dalla teoria, però se non ricordo male la professoressa ci disse che tutto quello che riguarda l'immagine, quindi l'insieme di arrivo, lo possiamo esprime mediante la base canonica, ma tutto quello che è nell'insieme di partenza deve espresso in B e quindi per vado a fare quel tipo di operazione finale.
Può darsi che si riferisca alla base del nucleo che va espressa in questa maniera?
Ad ogni modo ti chiedo ancora scusa ma non riesco ad essere piu' preciso di così e ti ringrazio ancora per il tempo perso dietro questo esercizio.
Prima cosa, questa e' applicazione pedestre di quello che tipicamente si studia. Quindi, ti rimando ad un testo che sa essere piu' preciso (e meno sbruffone) di me.
Secondo, se fosse vero che
allora il vettore
\[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} -0.5 \\ -4 \\ 0 \end{bmatrix} \]
dovrebbe essere mandato nello zero, cioe'
\[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \mathbf{v} = 0_{\mathbb{R}^3} \]
--il che non mi pare accada.
Secondo, se fosse vero che
"Anaklukes":
\( \ ker(F)=< -3/2*v_1+1*v_2> =< -3/2(1,2,0)+1(1,-1,0)>= <(-1/2,-4,0)>\)
allora il vettore
\[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} -0.5 \\ -4 \\ 0 \end{bmatrix} \]
dovrebbe essere mandato nello zero, cioe'
\[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \mathbf{v} = 0_{\mathbb{R}^3} \]
--il che non mi pare accada.
Ti ringrazio comunque, sei stato gentilissimo. In linea generale mi hai confermato che comunque l''esercizio è corretto, ma devo chiarire quest'ultimo punto ovviamente.
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