Induzione di un endomorfismo
Sono inciampato in un concetto circa la risoluzione di un esercizio.
Sia $V$ il sottospazio vettoriale di $RR^4$ generato dai vettori $v_1=(2,1,2,0)$ $v_2=(2,-2,0,0)$ $v_3=(0,2,2,0)$
determinare il valore del parametro $h in RR$ per cui l'applicazione lineare $f:V->RR^4$ definita dalle relazioni
$f(v_1)=(1,2,4,h^2-1)$
$f(v_2)=(-8,-4,0,h^2-3h+2)$
$f(v_3)=(6,4,4,h^2-h)$
induce un endomorfismo $phi$ su $V$
a questo punto il mio dubbio è uno.occorra che mi trova la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base $B=(v_1,v_2,v_3)$ oppure mi scriva la matrice costituita dai vettori $(1,2,4,h^2-1)$ $(-8,-4,0,h^2-3h+2)$ $(6,4,4,h^2-h)$ che poi completo con un vettore linearmente indipendente ai questi tre vettori?Ma che differenza c'è fra la prima matrice (matrice associata all'applicazione lineare) e la seconda (matrice costituita dalle immagini dei vettori che formano una base)?
ed inoltre quest'ultima matrice ovviamente non serve per studiare l'endomorfismo, esatto?per studiare l'endomorfismo occorre la matrice associata all'applicazione lineare.mi sbaglio?
Sia $V$ il sottospazio vettoriale di $RR^4$ generato dai vettori $v_1=(2,1,2,0)$ $v_2=(2,-2,0,0)$ $v_3=(0,2,2,0)$
determinare il valore del parametro $h in RR$ per cui l'applicazione lineare $f:V->RR^4$ definita dalle relazioni
$f(v_1)=(1,2,4,h^2-1)$
$f(v_2)=(-8,-4,0,h^2-3h+2)$
$f(v_3)=(6,4,4,h^2-h)$
induce un endomorfismo $phi$ su $V$
a questo punto il mio dubbio è uno.occorra che mi trova la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base $B=(v_1,v_2,v_3)$ oppure mi scriva la matrice costituita dai vettori $(1,2,4,h^2-1)$ $(-8,-4,0,h^2-3h+2)$ $(6,4,4,h^2-h)$ che poi completo con un vettore linearmente indipendente ai questi tre vettori?Ma che differenza c'è fra la prima matrice (matrice associata all'applicazione lineare) e la seconda (matrice costituita dalle immagini dei vettori che formano una base)?
ed inoltre quest'ultima matrice ovviamente non serve per studiare l'endomorfismo, esatto?per studiare l'endomorfismo occorre la matrice associata all'applicazione lineare.mi sbaglio?
Risposte
ho risolto l'esercizio è la soluzione trovata è $h=1$.
sono arrivato a questa soluzione in questo modo:
considero la matrice $((1,-8,6,0),(2,-4,4,0),(4,0,4,0),(h^2-1,h^2-3h+2,h^2-h,1))$
affinché $f$ induce un endomorfismo $phi$ su $V$ gli elementi dell'ultima riga devono fare zero poiché calcolandomi l'equazione cartesiana del sottospazio $V$ ottengo che $t=0$ ovvero l'ultimo elemento deve essere zero.il valore che annulla entrambi i tre termini all'ultima riga è $1$.
sono arrivato a questa soluzione in questo modo:
considero la matrice $((1,-8,6,0),(2,-4,4,0),(4,0,4,0),(h^2-1,h^2-3h+2,h^2-h,1))$
affinché $f$ induce un endomorfismo $phi$ su $V$ gli elementi dell'ultima riga devono fare zero poiché calcolandomi l'equazione cartesiana del sottospazio $V$ ottengo che $t=0$ ovvero l'ultimo elemento deve essere zero.il valore che annulla entrambi i tre termini all'ultima riga è $1$.
adesso però mi dovrei calcolare la $phi^(-1)({(2,9,8,0)})$. per calcolarmi la controimmagine devo verificare che il vettore $(2,9,8,0)$ appartenga a $Im\phi$.devo quindi calcolarmi una base dell'immagine e poi trovarmi l'equazione cartesiana per vedere se effettivamente $v in Im\phi$.ma la matrice associata all'endomorfismo $phi$ come la calcolo?
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