Indipendenza lineare vettori
come posso dimostare che n-vettori sono linearmente indipendenti se e solo se lo sono anche i suoi coniugi?
grazie,
simona
grazie,
simona
Risposte
Dunque Simona, proviamo a dimostrare che
$v_1, ..., v_n " linearmente indipendenti"\rArr \bar{v}_1, ..., \bar{v}_n " linearmente indipendenti"$.
Poi vedremo l'implicazione inversa (anche se una volta fatta la prima parte, vedrai che sarà una banalità).
Supponiamo che $v_1, ..., v_n$ siano linearmente indipendenti. Dobbiamo provare che $\bar{v}_1, ..., \bar{v}_n$ sono linearmente indipendenti.
Qual è l'ipotesi? Devi ricordare la definizione di lineare indipendenza...
E cosa dovresti provare?
Forza, mostraci quali sono i tuoi pensieri
$v_1, ..., v_n " linearmente indipendenti"\rArr \bar{v}_1, ..., \bar{v}_n " linearmente indipendenti"$.
Poi vedremo l'implicazione inversa (anche se una volta fatta la prima parte, vedrai che sarà una banalità).
Supponiamo che $v_1, ..., v_n$ siano linearmente indipendenti. Dobbiamo provare che $\bar{v}_1, ..., \bar{v}_n$ sono linearmente indipendenti.
Qual è l'ipotesi? Devi ricordare la definizione di lineare indipendenza...
E cosa dovresti provare?
Forza, mostraci quali sono i tuoi pensieri
l'ipotesi è questa:
a1V1+...+anVn=0, per a1,...,an=0 (n-vettori linearmente indipendenti)
la tesi:
a1V1+...+anVn=0, per a1,....,an=0 (cn gli n-vettori e gli n-scalari coniugati)..o sbaglio?
e ora??come si procede?
a1V1+...+anVn=0, per a1,...,an=0 (n-vettori linearmente indipendenti)
la tesi:
a1V1+...+anVn=0, per a1,....,an=0 (cn gli n-vettori e gli n-scalari coniugati)..o sbaglio?
e ora??come si procede?
La definizione di vettori linearmente indipendenti, secondo me, non è sufficientemente chiara.
Io scriverei così: i vettori $v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti se
(*) $a_1v_1+...+a_nv_n=0\ \rArr\ a_1=...=a_n=0$.
Scusami la pignoleria, ma secondo me quel segno di implicazione ($\rArr$) è fondamentale.
Bene, per ipotesi sai che, ogni volta che hai una combinazione lineare nulla di $v_1,...,v_n$ puoi concludere che gli scalari sono nulli.
Ora devi provare che
$b_1\bar{v}_1+...+b_n\bar{v}_n=0\ \rArr\ b_1=...=b_n=0$.
E' questa la definizione di lineare indipendenza di $\bar{v}_1,...,\bar{v}_n$.
Rispetto alla (*), ho cambiato i nomi agli scalari, così non ti confondi. E ho cambiato i nomi dei vettori. Prima erano $v_1,...,v_n$ e ora sono $\bar{v}_1,...,\bar{v}_n$.
Ciò premesso, partendo da
$b_1\bar{v}_1+...+b_n\bar{v}_n=0$
devi cercare di provare che $b_1=...=b_n=0$, sapendo che -come ho detto prima- ogni volta che hai una combinazione lineare nulla di $v_1,...,v_n$ puoi concludere che gli scalari sono nulli.
Idee?
Sappi che sono un paio di passaggi al massimo. Devi solo avere chiara la situazione...
Io scriverei così: i vettori $v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti se
(*) $a_1v_1+...+a_nv_n=0\ \rArr\ a_1=...=a_n=0$.
Scusami la pignoleria, ma secondo me quel segno di implicazione ($\rArr$) è fondamentale.
Bene, per ipotesi sai che, ogni volta che hai una combinazione lineare nulla di $v_1,...,v_n$ puoi concludere che gli scalari sono nulli.
Ora devi provare che
$b_1\bar{v}_1+...+b_n\bar{v}_n=0\ \rArr\ b_1=...=b_n=0$.
E' questa la definizione di lineare indipendenza di $\bar{v}_1,...,\bar{v}_n$.
Rispetto alla (*), ho cambiato i nomi agli scalari, così non ti confondi. E ho cambiato i nomi dei vettori. Prima erano $v_1,...,v_n$ e ora sono $\bar{v}_1,...,\bar{v}_n$.
Ciò premesso, partendo da
$b_1\bar{v}_1+...+b_n\bar{v}_n=0$
devi cercare di provare che $b_1=...=b_n=0$, sapendo che -come ho detto prima- ogni volta che hai una combinazione lineare nulla di $v_1,...,v_n$ puoi concludere che gli scalari sono nulli.
Idee?
Sappi che sono un paio di passaggi al massimo. Devi solo avere chiara la situazione...
ok..innanzitutto grazie della chiarezza!
quindi per dimostrare che la loro combinazione lineare dà un valore nullo, devo provare che gli scalari sono nulli?
eheheheh...ti prego aiutami...
quindi per dimostrare che la loro combinazione lineare dà un valore nullo, devo provare che gli scalari sono nulli?
eheheheh...ti prego aiutami...
"simsom":
quindi per dimostrare che la loro combinazione lineare dà un valore nullo, devo provare che gli scalari sono nulli?
No, dovresti provare che una combinazione lineare di $\bar{v}_1,...,\bar{v}_n$ è nulla allora gli scalari sono tutti nulli.
Supponiamo che
(1) $b_1\bar{v}_1+...+b_n\bar{v}_n=0$.
Dobbiamo provare che $b_1=...=b_n=0$.
Calcolando il complesso coniugato ad ambo i membri della (1) otteniamo
$\bar{b_1\bar{v}_1+...+b_n\bar{v}_n}=\bar{0}$
cioè
$\bar{b}_1v_1+...+\bar{b}_nv_n=0$.
Abbiamo ottenuto una combinazione lineare nulla dei vettori $v_1,...,v_n$. Dato che tali vettori sono linearmente indipendnti, gli scalari devono essere tutti nulli, cioè
$\bar{b}_1=...=\bar{b}_n=0$.
Abbiamo provato che i numeri complessi $b_1,...,b_n$ sono tali che i rispettivi complessi coniugati sono nulli. Quindi $b_1=...=b_n=0$.
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