Indipendenza e correlazione

[fran881]

Ciao. Ho il seguente lemma:
Due variabili aleatorie (discrete) indipendenti e dotate di momento secondo sono incorrelate.
La dimostrazione è banale e segue dal fatto che in condizioni di indipendenza di X e Y il momento primo di XY è il pordotto dei momenti di X e di Y.
Il viceversa è falso. Mi serve trovare un esempio, ma non ci riesco.
Inoltre dovrei trovare un esempio di due variabili con momento primo il cui prodotto non ha momento primo. Credo che sia equivalente alla richiesta precedente e anche qui non ho trovato una risposta.
Mi dareste una mano? Graziegrazie!

[pat871]

Prova a considerare:
$X,Y \sim N(0,1)$, indipendenti e
$Z :=\{(X, Y >0),(-X, Y \le 0):}$

quindi calcola la distribuzione di $Z$ e quindi la correlazione tra $X$ e $Z$.
Poi calcola la probabilità $P[X+Z = 0]$ e deduci con un teorema sulla somma di variabili aleatorie indipendenti normali, che $X$ e $Z$ non sono indipendenti.

Mi definiresti il momento primo pf? Non ho bene in chiaro a cosa ti riferisci...

PER I MODERATORI:
come si fa a mettere il testo nascosto per le soluzioni?

[raff5184]

"pat87":come si fa a mettere il testo nascosto per le soluzioni?

quando rispndi ai mess, in alto c'è il pulsante spoiler. Devi premerlo prima del testo da nascondere e alla fine

[pat871]

Ok grazie mille.
Ecco come si fa, ma prova lo stesso a farlo da solo...

La distribuzione di $Z$ è
$F_Z(z) = P[Z \le z] = P[Z \le z | Y >0]*P[Y>0] + P[Z \le z | Y \le 0]*P[Y \le 0] = 1/2*P[X \le z] + 1/2*P[ -X \le z] = 1/2*P[X \le z] + 1/2*P[X \ge -z] = 1/2*(\phi(z) + 1 - \phi(-z)) = \phi(z)$
dove $\phi(z)$ è la distribuzione normale standardizzata. Perciò $Z \sim N(0,1)$.
La covarianza tra le due variabili è
$Cov(X,Z) = E[X*Z] - E[X]*E[Z] = E[X*Z] = E[sign(Y)*X^2] = E[sign(Y)]*E[X^2] = 0*1 = 0$
perciò la correlazione è $0$.
$P[X+Z = 0] = P[Z = -X] = P[Y \le 0] = 1/2$
Quindi le variabili $X,Z$ non sono indipendenti poiché se lo fossero, allora per un teorema $X + Z \sim N(0,2)$, ma ciò implicherebbe che $P[X+Z = 0] = 0$.

[fran881]

"fran88":Ciao. Ho il seguente lemma:
Due variabili aleatorie (discrete) indipendenti e dotate di momento secondo sono incorrelate.

Grazie per la risposta...ma a me servirebbero discrete....
Per momento primo intendo la speranza (se essa è finita).

[pat871]

Ah ok scusa non avevo visto...