Importanza matrici diagonalizzabili

[mati.brunetti37]

Perché è così importante sapere se una matrice è diagonalizzabile o meno? È vero che i vettori della base avrebbero una immagine che non cambia la loro "direzione", ma questo cosa comporta? Solamente calcoli semplificati per trovare l'immagine di un vettore qualsiasi o c'è dell'altro? Che cosa?

[Pappappero1]

I motivi possono essere diversi, sia dal punto di vista teorico sia dal punto di vista delle applicazioni.

Dal punto di vista teorico, si puo' dire che in generale se $V$ e' uno spazio vettoriale, allora $V$ non ha una base che "sia piu' bella delle altre" (piu' precisamente, tutte le basi sono equivalenti sotto l'azione di $GL(V)$). Tuttavia, se siamo interessati a una particolare mappa lineare $L : V \to V$ che sia diagonalizzabile, allora possiamo sceglierci una base di autovettori, che in un certo senso e' piu' bella delle altre perche' si comporta bene rispetto a $L$.

Questo fatto ha importanti conseguenze nella teoria delle rappresentazioni (dal punto di vista dell'algebra) e nella teoria degli operatori su spazi vettoriali infiniti (dal punto di vista dell'analisi funzionale).

Sul piano delle applicazioni, le conseguenze sono ancora piu' evidenti. Supponiamo che $M$ sia una matrice gigante, con cui non c'e' speranza di fare i conti a mano. Se conosciamo la base di autovettori di $M$ e i suoi autovalori, tutti i conti diventano facili. Inoltre, se $M$ e' addirittura troppo grande per poter fare i conti anche se e' in forma diagonale, possiamo approssimare $M$ considerando solo i suoi (che so) 10 autovalori piu' grandi (che sono quelli che pesano di piu') approssimando la sua forma diagonale con 10 autovalori grandi e 0 per tutti gli altri autovalori. Questa tecnica (e soprattutto una forma un pochino diversa, che invece degli autovalori usa quelli che si chiamano valori singolari) e' molto usata nelle applicazioni.