Imm e ker di una funzione

[marco.palu9]

Salve ragazzi, vorrei sapere come faccio a calcolare l imm di un esercizio tipo :"Sia f : R^4 -> R^3 tale che f(x1; x2; x3; x4) = (x1 + x2; x2 - x3; x1 + x3).
Dire se f e lineare; trovare Imm(f) e la dimensione del sottospazio; trovare
ker(f) e la dimensione del sottospazio."

Allora io so per trovare l imm dovrei prendere la matrice associata e ridurla. Il numero di righe rimanenti è la dimensione immagine, nel caso di questo esercizio però ho una sola riga di partenza quindi l imm(f) sarà 1? e per calcolare il ker(f) devo fare la dimensione del dominio meno l'immagine? Oppure ho sbagliato?
Grazie in anticipo!!

[21zuclo]

allora vediamo tu hai questa funzione

$ f: RR^4\to RR^3 $ $ f(x_1,x_2,x_3,x_4)=( ( x_1+x_2 ),( x_2-x_3 ),( x_1+x_3 ) ) $

allora tanto per cominciare, scriviamo la sua matrice associata

siccome abbiamo una funzione (applicazione lineare in questo caso) che va da $ RR^4\to RR^3 $

Avremo una matrice di tipo $ 3 \xx 4 $ (3 righe e 4 colonne)

$ A=( ( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 0 ) ) $

dire se è lineare, basta solo applicare la definzione
f è un omomorfismo se per ogni coppia $ \alpha,\beta \in RR $ ed ogni coppia di vettori $ \ul(v),\ul(w)\in RR^4 $
risulta $ f(\alpha\ul(v)+\beta \ul(w))=\alpha f(\ul(v))+\beta f(\ul(w)) $

poi calcolare il Ker ..basta applicare la definzione..
$ f\in Hom(V,W) $
$ Ker(f)=\{\ul(v)\in V| f(\ul(v))=\ul(0)_(W)\} $

piccolo trucchetto per escludere che f sia un'applicazione lineare
[ot]utilizza il vettore nullo $ \ul(O)=(0,....,0)^T \in RR^n $

se $ f(\ul(O))= \ul(O) $ allora devi provare con la definizione scritta sopra

se $ f(\ul(O))\ne \ul(O) $ allora f NON è un omomorfismo

esempio $ f:RR^2\to RR^3, f(a,b)=((a+b),(1),(2b)) $ .. NON è un omomorfismo..

poiché $ f(0,0)=((0),(1),(0)) $[/ot]