Il sistema è compatibile
al variare di h e k $in$ $RR$ stabilisci se è compatibile
$\{(hx + hy +hz + hw=k),(kx+ky+kz+kw=h+3):}$
scrivo la matrice
$((h,h,h,h,k),(k,k,k,k,h+3))$
dove k e h+3 sono i termini noti
riduco con l'eliminazione di Gauss la matrice
$((h,h,h,h,k),(0,0,0,0,(h^2+3h-k^2)/h))$
adesso per
$(h^2+3h-k^2)/h$=0
h deve essere diverso da 0
k=$+-$ $root(2)(h^2+3h)
ma adesso come faccio a definire il valore di h?
$\{(hx + hy +hz + hw=k),(kx+ky+kz+kw=h+3):}$
scrivo la matrice
$((h,h,h,h,k),(k,k,k,k,h+3))$
dove k e h+3 sono i termini noti
riduco con l'eliminazione di Gauss la matrice
$((h,h,h,h,k),(0,0,0,0,(h^2+3h-k^2)/h))$
adesso per
$(h^2+3h-k^2)/h$=0
h deve essere diverso da 0
k=$+-$ $root(2)(h^2+3h)
ma adesso come faccio a definire il valore di h?
Risposte
Secondo me devi usare un altro approccio: il Teorema di Rouché-Capelli ci dice quando un sistema è compatibile, ossia quando il rango della matrice dei coefficienti e della matrice orlata sono uguali.
A questo punto direi di cercare i casi in cui questo non è verificato: con un colpo d'occhio si vede che la matrice dei coefficienti ha determinante sempre nullo e quindi..... E dunque la matrice orlata deve avere rango..... Ma allora $k$ e $h$ devono essere....
A questo punto direi di cercare i casi in cui questo non è verificato: con un colpo d'occhio si vede che la matrice dei coefficienti ha determinante sempre nullo e quindi..... E dunque la matrice orlata deve avere rango..... Ma allora $k$ e $h$ devono essere....
ok perfetto quindi
vedendo che il $rango=1$ della matrice $A=((h,h,h,h),(k,k,k,k))$
mentre il $rango=2$ della matrice $A'=((h,h,h,h,k),(k,k,k,k,h+3))$
so che $rango A!= rango A'$ il sistema non ammette soluzioni
è corretto?
vedendo che il $rango=1$ della matrice $A=((h,h,h,h),(k,k,k,k))$
mentre il $rango=2$ della matrice $A'=((h,h,h,h,k),(k,k,k,k,h+3))$
so che $rango A!= rango A'$ il sistema non ammette soluzioni
è corretto?
"DAIANA":
mentre il $rango=2$ della matrice $A'=((h,h,h,h,k),(k,k,k,k,h+3))$
Questo non è sempre vero!
hai ragione ma affinche il $rango A'=1$ è necessario che
$h+3-k^2/h=0$
da qui h!=0
e $k^2=h^2+3h$
non riesco a capire dove sbaglio ho usato il teorema di rouchè capelli
$h+3-k^2/h=0$
da qui h!=0
e $k^2=h^2+3h$
non riesco a capire dove sbaglio ho usato il teorema di rouchè capelli
Continui ad andare fuori strada: devi trovare quando il sistema è compatibile, cioè quando i ranghi sono uguali, cioè devi mettere delle condizioni su $h$ e $k$ affinché questa proprietà sia sempre vera.
mi sto esercitando in questo tipo di esercizi, vorrei controllare se il modo in cui ho completato questo che mi incuriosiva è corretto (mi scuso se ripeto cose già dette, ma è per non perdere il filo del discorso).
dunque:
-la matrice dei coefficienti può avere al più rango 2, essendo una matrice del tipo 2x4. Dal momento che ogni minore estratto di ordine 2 è nullo, questa avrà al più rango 1
-per la matrice completa vale la stessa cosa, tuttavia bisogna considerare il minore estratto $ | ( h , k ),( k , h+3 ) | $ che può non essere nullo
questo è uguale a $ h^(2)+3h-k^(2) $
Imponiamo che sia nullo per trovare i valori dei parametri $h$ e $k$ per cui anche la matrice completa ha rango inferiore a 2.
Ora, le condizioni per cui questo si verifica sono:
1) $ h=k=0 $
2) $ h= (k^(2))/(h+3) $
Nel secondo caso abbiamo che entrambe le matrici hanno rango 1, quindi il sistema sarà compatibile e in particolare esistono $ oo ^(3) $ soluzioni (perchè abbiamo 4 incognite e il rango abbiamo verificato che è uguale a 1)
Ovviamente se la condizione 2 non è verificata, allora la matrice completa avrà rango 2, quindi diverso dal rango di quella dei coefficienti, e per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema non è compatibile.
Nel caso in cui $ h=k=0 $, invece, la matrice completa come avevamo già detto ha rango 1; quella incompleta invece sarà composta da termini tutti nulli, quindi avrà rango 0, e perciò anche in questo caso non esistono soluzioni (facilmente si nota che tutti i coefficienti si annullano e dalla seconda equazione viene fuori uno $ 0=3 $ che chiaramente è impossibile)
In definitiva:
- se $ h=k=0 $, il sistema è incompatibile e non esistono soluzioni
- se $ h= (k^(2))/(h+3) $ il sistema è compatibile, quindi ammette soluzioni, e precisamente ne ammette $ oo ^(3) $
- se $ h != (k^(2))/(h+3) $ il sistema è incompatibile e non esistono soluzioni
È tutto corretto oppure c'è qualche errore? Non serve determinare dei valori precisi di $h$ e $k$, basta la condizione che li lega, giusto?
dunque:
-la matrice dei coefficienti può avere al più rango 2, essendo una matrice del tipo 2x4. Dal momento che ogni minore estratto di ordine 2 è nullo, questa avrà al più rango 1
-per la matrice completa vale la stessa cosa, tuttavia bisogna considerare il minore estratto $ | ( h , k ),( k , h+3 ) | $ che può non essere nullo
questo è uguale a $ h^(2)+3h-k^(2) $
Imponiamo che sia nullo per trovare i valori dei parametri $h$ e $k$ per cui anche la matrice completa ha rango inferiore a 2.
Ora, le condizioni per cui questo si verifica sono:
1) $ h=k=0 $
2) $ h= (k^(2))/(h+3) $
Nel secondo caso abbiamo che entrambe le matrici hanno rango 1, quindi il sistema sarà compatibile e in particolare esistono $ oo ^(3) $ soluzioni (perchè abbiamo 4 incognite e il rango abbiamo verificato che è uguale a 1)
Ovviamente se la condizione 2 non è verificata, allora la matrice completa avrà rango 2, quindi diverso dal rango di quella dei coefficienti, e per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema non è compatibile.
Nel caso in cui $ h=k=0 $, invece, la matrice completa come avevamo già detto ha rango 1; quella incompleta invece sarà composta da termini tutti nulli, quindi avrà rango 0, e perciò anche in questo caso non esistono soluzioni (facilmente si nota che tutti i coefficienti si annullano e dalla seconda equazione viene fuori uno $ 0=3 $ che chiaramente è impossibile)
In definitiva:
- se $ h=k=0 $, il sistema è incompatibile e non esistono soluzioni
- se $ h= (k^(2))/(h+3) $ il sistema è compatibile, quindi ammette soluzioni, e precisamente ne ammette $ oo ^(3) $
- se $ h != (k^(2))/(h+3) $ il sistema è incompatibile e non esistono soluzioni
È tutto corretto oppure c'è qualche errore? Non serve determinare dei valori precisi di $h$ e $k$, basta la condizione che li lega, giusto?
chiedo scusa... ma per rendere $r(A')=r(A)$ basta che la matrice A' sia di rango 1
quindi basta porre h+3=0 e si avrebbe
$((h,h,h,h,k),(0,0,0,0,0))$
e per me il sistema è compatibile per ogni k con h=-3
(come si scrivi in latex per ogni?
)
quindi basta porre h+3=0 e si avrebbe
$((h,h,h,h,k),(0,0,0,0,0))$
e per me il sistema è compatibile per ogni k con h=-3
(come si scrivi in latex per ogni?
)
"ansioso":
chiedo scusa... ma per rendere $r(A')=r(A)$ basta che la matrice A' sia di rango 1
quindi basta porre h+3=0 e si avrebbe
$((h,h,h,h,k),(0,0,0,0,0))$
e per me il sistema è compatibile per ogni k con h=-3
(come si scrivi in latex per ogni?
E se $h\ne-3$?
P.s. In LaTeX \forall = $\forall$
E se h≠-3?
il sistema è incompatibile... xkè $r(A')!=r(A)$
"ansioso":E se h≠-3?
il sistema è incompatibile... xkè $r(A')!=r(A)$
E questo succede per qualunque valore di $k$?
$\forall k$ <-- grazie so stato maleducato prima ^_^
Quindi se imponessi $h=0, k=0$ come la vedresti?
incompatibile xkè $r(A)=0$ $ r(A')=1 $
"ansioso":
incompatibile xkè $r(A)=0$ $ r(A')=1 $
Giusto, ho scelto proprio l'esempio sbagliato XD
Comunque, l'unico minore di $A'$ che non ha determinante nullo e dimensione 2 è $h^2+3h-k^2$.
Se risolvi $h^2+3h-k^2=0$ rispetto a $k$, trovi che se $k=\pm\sqrt{h^2-3h}$, allora il determinante vale zero per ogni valore di $h$, e quindi il rango è 1. Sei d'accordo?
aiutami un attimo che mi so perso... il [tex]det=0 \forall h[/tex]... che vuol dire?che il $r(A')<=2$? quindi 1?
Si nn mi sembra errato... ma parli con uno che non sa se passerà l'esame
Si nn mi sembra errato... ma parli con uno che non sa se passerà l'esame
È molto più semplice di quello che pensi: esattamente come dicevi prima, ma oltre alla condizione che hai detto che n'è un'altra [normale, avendo due parametri che possono portare a zero il determinante].
Quindi hai solo più casi da analizzare.
Quindi hai solo più casi da analizzare.
si è vero ma io credevo(male) che k fosse indifferente dato che per qualsiasi valore k quando andavi a determinare il rango veniva annullata la seconda riga.... capito?
Sì, avevo già capito
Comunque ora lo sai, sono sicuro che la prossima volta lo farai senza troppi problemi!
Comunque ora lo sai, sono sicuro che la prossima volta lo farai senza troppi problemi!
speriamo
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