Il cilindro è diffeomorfo alla n-sfera meno 2 punti
Ciao ragazzi, devo dimostrare che il cilindro $S^{n-1}\times \mathbb{R}$ è diffeomorfo alla sfera $S^n\setminus\{N,S\}$. Qualcuno potrebbe dirmi se ho ragionato nel modo corretto?
Considero $S^n\setminus\{N,S\}$ l'atlante $\{(S^n\setminus\{N,S\},\varphi_N)\}$, dove $\varphi_N$ è la proiezione stereografica dal polo Nord.
$\varphi_N: S^{n}\setminus\{N,S\} \rightarrow \mathbb{R}^n \setminus {0},\ \ \ \ \ (y_1,\ldots,y_{n+1}) \mapsto \frac{1}{1-y_{n+1}}(y_1,\ldots,y_n)$,
con
$\varphi_N^{-1}:\mathbb{R}^n \setminus {0} \rightarrow S^{n}\setminus\{N,S\} ,\ \ \ \ \ v=(v_1,\ldots,v_{n}) \mapsto \frac{1}{1+||v||^2}(2v_1,\ldots,2v_{n},||v||^2-1)$.
Su $S^{n-1}\times \mathbb{R}$ considero l'atlante $\{(U_1,\varphi_1),(U_2,\varphi_2)\}$, dove $U_1=S^{n-1}\setminus\{(0,\ldots,0,1)\}\times\mathbb{R}$ e $U_2=S^{n-1}\setminus\{(0,\ldots,0,-1)\}\times\mathbb{R}$ e
$\varphi_1: U_1 \rightarrow \mathbb{R}^n,\ \ \ \ \ (x_1,\ldots,x_{n+1}) \mapsto (\frac{x_1}{1-x_{n}},\ldots,\frac{x_{n-1}}{1-x_{n}},x_{n+1})$
$\varphi_2: U_2 \rightarrow \mathbb{R}^n,\ \ \ \ \ (x_1,\ldots,x_{n+1}) \mapsto (\frac{x_1}{1+x_{n}},\ldots,\frac{x_{n-1}}{1+x_{n}},x_{n+1})$, con
$\varphi_1^{-1}:\mathbb{R}^n \rightarrow U_1 ,\ \ \ \ \ (u,w)=(u_1,\ldots,u_{n-1},w) \mapsto (\frac{2u_1}{1+||u||^2},\ldots,\frac{2u_{n-1}}{1+||u||^2},\frac{||u||^2-1}{1+||u||^2},w)$
$\varphi_2^{-1}:\mathbb{R}^n \rightarrow U_2 ,\ \ \ \ \ (u,w)=(u_1,\ldots,u_{n-1},w) \mapsto (\frac{2u_1}{1+||u||^2},\ldots,\frac{2u_{n-1}}{1+||u||^2},\frac{1-||u||^2}{1+||u||^2},w)$.
Considero ora la funzione:
$$\begin{array}{rccc}\psi\colon&S^{n-1}\times\mathbb{R}&\longrightarrow&S^n\setminus\bigl\{N,S\bigr\}\\&(x_1,\ldots,x_n,x_{n+1})&\mapsto&(\frac{x_1}{||x||},\ldots,\frac{x_{n+1}}{||x||})\end{array}$$
con
$$\begin{array}{rccc}\psi^{-1}\colon&S^n\setminus\bigl\{N,S\bigr\} &\longrightarrow& S^{n-1}\times\mathbb{R}\\&(y,z)=(y_1,\ldots,y_n,z)&\mapsto&(\frac{y_1}{||y||},\ldots,\frac{y_{n}}{||y||},\frac{z}{||y||})\end{array}$$
Allora:
$(\varphi_N\circ\psi\circ\varphi_1^{-1})(u,w)=(\varphi_N\circ\psi\circ\varphi_1^{-1})(u_1,\ldots,u_{n-1},w)=(\varphi_N\circ\psi)(\frac{2u_1}{1+||u||^2},\ldots,\frac{2u_{n-1}}{1+||u||^2},\frac{||u||^2-1}{1+||u||^2},w)=\varphi_N(\frac{1}{1+w^2}(\frac{2u_1}{1+||u||^2},\ldots,\frac{2u_{n-1}}{1+||u||^2},\frac{||u||^2-1}{1+||u||^2},w))=\frac{1}{1+w^2}\frac{1}{1-\frac{w}{1+w^2}}(\frac{2u_1}{1+||u||^2},\ldots,\frac{2u_{n-1}}{1+||u||^2},\frac{||u||^2-1}{1+||u||^2})$
è $C^{\infty}$ poichè $1-\frac{w}{1+w^2}\ne0$ perchè l'equazione $w^2-w+1=0$ non ha soluzione.
Allo stesso modo provo che $\varphi_N\circ\psi\circ\varphi_2^{-1}$ e $\varphi_i\circ\psi^{-1}\circ\varphi_N^{-1}$ per $i=1,2$ sono $C^{\infty}$, così posso concludere che $\psi$ è un diffeomorfismo, cioè $S^{n-1}\times\mathbb{R}$ è diffeomorfo $S^{n}\setminus\{N,S\}$.
Secondo voi è tutto giusto ?
Considero $S^n\setminus\{N,S\}$ l'atlante $\{(S^n\setminus\{N,S\},\varphi_N)\}$, dove $\varphi_N$ è la proiezione stereografica dal polo Nord.
$\varphi_N: S^{n}\setminus\{N,S\} \rightarrow \mathbb{R}^n \setminus {0},\ \ \ \ \ (y_1,\ldots,y_{n+1}) \mapsto \frac{1}{1-y_{n+1}}(y_1,\ldots,y_n)$,
con
$\varphi_N^{-1}:\mathbb{R}^n \setminus {0} \rightarrow S^{n}\setminus\{N,S\} ,\ \ \ \ \ v=(v_1,\ldots,v_{n}) \mapsto \frac{1}{1+||v||^2}(2v_1,\ldots,2v_{n},||v||^2-1)$.
Su $S^{n-1}\times \mathbb{R}$ considero l'atlante $\{(U_1,\varphi_1),(U_2,\varphi_2)\}$, dove $U_1=S^{n-1}\setminus\{(0,\ldots,0,1)\}\times\mathbb{R}$ e $U_2=S^{n-1}\setminus\{(0,\ldots,0,-1)\}\times\mathbb{R}$ e
$\varphi_1: U_1 \rightarrow \mathbb{R}^n,\ \ \ \ \ (x_1,\ldots,x_{n+1}) \mapsto (\frac{x_1}{1-x_{n}},\ldots,\frac{x_{n-1}}{1-x_{n}},x_{n+1})$
$\varphi_2: U_2 \rightarrow \mathbb{R}^n,\ \ \ \ \ (x_1,\ldots,x_{n+1}) \mapsto (\frac{x_1}{1+x_{n}},\ldots,\frac{x_{n-1}}{1+x_{n}},x_{n+1})$, con
$\varphi_1^{-1}:\mathbb{R}^n \rightarrow U_1 ,\ \ \ \ \ (u,w)=(u_1,\ldots,u_{n-1},w) \mapsto (\frac{2u_1}{1+||u||^2},\ldots,\frac{2u_{n-1}}{1+||u||^2},\frac{||u||^2-1}{1+||u||^2},w)$
$\varphi_2^{-1}:\mathbb{R}^n \rightarrow U_2 ,\ \ \ \ \ (u,w)=(u_1,\ldots,u_{n-1},w) \mapsto (\frac{2u_1}{1+||u||^2},\ldots,\frac{2u_{n-1}}{1+||u||^2},\frac{1-||u||^2}{1+||u||^2},w)$.
Considero ora la funzione:
$$\begin{array}{rccc}\psi\colon&S^{n-1}\times\mathbb{R}&\longrightarrow&S^n\setminus\bigl\{N,S\bigr\}\\&(x_1,\ldots,x_n,x_{n+1})&\mapsto&(\frac{x_1}{||x||},\ldots,\frac{x_{n+1}}{||x||})\end{array}$$
con
$$\begin{array}{rccc}\psi^{-1}\colon&S^n\setminus\bigl\{N,S\bigr\} &\longrightarrow& S^{n-1}\times\mathbb{R}\\&(y,z)=(y_1,\ldots,y_n,z)&\mapsto&(\frac{y_1}{||y||},\ldots,\frac{y_{n}}{||y||},\frac{z}{||y||})\end{array}$$
Allora:
$(\varphi_N\circ\psi\circ\varphi_1^{-1})(u,w)=(\varphi_N\circ\psi\circ\varphi_1^{-1})(u_1,\ldots,u_{n-1},w)=(\varphi_N\circ\psi)(\frac{2u_1}{1+||u||^2},\ldots,\frac{2u_{n-1}}{1+||u||^2},\frac{||u||^2-1}{1+||u||^2},w)=\varphi_N(\frac{1}{1+w^2}(\frac{2u_1}{1+||u||^2},\ldots,\frac{2u_{n-1}}{1+||u||^2},\frac{||u||^2-1}{1+||u||^2},w))=\frac{1}{1+w^2}\frac{1}{1-\frac{w}{1+w^2}}(\frac{2u_1}{1+||u||^2},\ldots,\frac{2u_{n-1}}{1+||u||^2},\frac{||u||^2-1}{1+||u||^2})$
è $C^{\infty}$ poichè $1-\frac{w}{1+w^2}\ne0$ perchè l'equazione $w^2-w+1=0$ non ha soluzione.
Allo stesso modo provo che $\varphi_N\circ\psi\circ\varphi_2^{-1}$ e $\varphi_i\circ\psi^{-1}\circ\varphi_N^{-1}$ per $i=1,2$ sono $C^{\infty}$, così posso concludere che $\psi$ è un diffeomorfismo, cioè $S^{n-1}\times\mathbb{R}$ è diffeomorfo $S^{n}\setminus\{N,S\}$.
Secondo voi è tutto giusto ?
Risposte
L'idea è quella: la proiezione stereografica è un diffeomorfismo tra la sfera, privata di un punto, e il piano: allora la restrizione alla sfera meno un altro punto deve essere un diffeomorfismo col piano bucato. E il piano bucato è chiaramente diffeomorfo a un cilindro: esistono le coordinate polari-cilindriche.
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