I vett. non nulli del nucleo di un' applicaz. sono aut...

[canto46]

Ciao a tutti, questo è un esercizio che è uscito qualche anno fa, che io non saprei come risolvere.
In particolare, l'es. dice: "Sia definita un' applicazione lineare da$R^3$ a $R^3$. I vettori non nulli del nucleo dell' applicazione sono autovettori dell' applicazione?".
Non so più dove sbattere la testa... c'è qualcuno che mi sappia dare una risposta precisa?
Grazie mille...

[Gaal Dornick]

E' più semplice di quello che pensi.

Qual è la definizione di autovettore?
Qual è la definizione di nucleo?

Prova a scriverle l'una vicino all'altra e dimmi un po' che idee ti vengono.

[canto46]

Forse ho capito... Essendo vettori del $Ker$, essi sono linearmente indipendenti, quindi base per $R^3$... Può andare bene?

[canto46]

Da quello che ho studiato, un autovettore è un vettore non nullo che non cambia direzione nella trasformazione. Il vettore cambia solo per moltiplicazione di uno scalare, l' autovalore corrispondente che ottengo risolvendo $A-lambdaI$. Il nucleo è invece, per def., l' insieme di elementi che vengono trasformati dalla trasformazione nell' origine... Però non riesco ad arrivare ad una conclusione...

[canto46]

[Marco512]

canto46:Da quello che ho studiato, un autovettore è un vettore non nullo che non cambia direzione nella trasformazione. Il vettore cambia solo per moltiplicazione di uno scalare, l' autovalore corrispondente che ottengo risolvendo $A-lambdaI$. Il nucleo è invece, per def., l' insieme di elementi che vengono trasformati dalla trasformazione nell' origine... Però non riesco ad arrivare ad una conclusione... :-(

Gli autovalori della matrice A li trovi risolvendo l'equazione $det(A- \lambda I_n)=0$, dove $n$ è la dimensione (numero di righe o colonne) d A. Trovati gli autovalori, risolvi il sistema lineare associato alla matrice $A-\lambda I_n$, ciascuna incognita ti dà la componente di ciascun autovettore.
Ovviamente devi controllare che la matrice sia diagonalizzabile, e se lo è, vai avanti...m ance se non lo è...devo riguardarmi questa roba..