I^ forma fondamentale
Ciao, volevo chiedervi una mano per capire meglio due concetti che mi lasciano un po' perplesso riguardanti la prima forma fondamentale.
1) La prima forma fondamentale mi è stata definita come data una parametrizzazione $phi(u,v)$ la metrica $A:=((phi_u*phi_u),(phi_u*phi_v),(phi_v*phi_v),(phi_v*phi_u))$ (purtroppo non riesco a scriverla 2x2) dove i prodotti scalari sono quelli ristretti agli spazi tangenti di quello indotto da $RR^3$.
Poi proseguendo si dice che le quantità dipendenti da E F G (tipo il risultato del thm egregium) sono quantità intrinseche nel senso che sono quantità che non dipendono da come la matrice è immersa in $RR^3$, quindi la forma che realizza, ma sono intrinseche dell'oggetto in sé.
Il mio dubbio qui ruota attorno a questo: se io definisco la I forma in quel modo, noto che $phi(u,v)$ è la mappa $phi:U->R^3$ quind in realtà quello che esce da questa mappa è proprio la figura che ho come superficie di $RR^3$ infatti la mappa mi dà le coordinate (x,y,z), ora $phi_u$ e $phi_v$ sono i vettori tangenti a quella figura.
Poi definisco la matrice A trmaite i prodotti scalari di $phi_u$ e $phi_v$ equindi che cosa c'è di intrinseco?
io sto usando proprio vettori tangenti a una figura che ha forma data da $phi:U->R^3$ quindi direi che dipende eccome dalla immersione e da come la figura si realizza geometricamente in esso.
2) La seconda dmanda è questa, se io cambio parametrizzazione io avrò $phi'_i, i in {u,v}$ che cambiera da quelli iniziali, quindi mi troverò E', F',G'.
però ad esempio per un oggetto (mettiamo una sfera) la curvatura è fissa e dipende solo da E F G no? Ebbene, ma se io ho cambiato parametrizzazione e ho E' F' G' perché la curvatura non dovrebbe cambiarmi? Sono valori diversi.
Mi viene da dire che cambiando parametrizzazione mi cambia I forma fondamentale e qundi mi cambia la curvatura (ma non dovrebbe essere così obv)
Vi prego potreste aiutarmi?
1) La prima forma fondamentale mi è stata definita come data una parametrizzazione $phi(u,v)$ la metrica $A:=((phi_u*phi_u),(phi_u*phi_v),(phi_v*phi_v),(phi_v*phi_u))$ (purtroppo non riesco a scriverla 2x2) dove i prodotti scalari sono quelli ristretti agli spazi tangenti di quello indotto da $RR^3$.
Poi proseguendo si dice che le quantità dipendenti da E F G (tipo il risultato del thm egregium) sono quantità intrinseche nel senso che sono quantità che non dipendono da come la matrice è immersa in $RR^3$, quindi la forma che realizza, ma sono intrinseche dell'oggetto in sé.
Il mio dubbio qui ruota attorno a questo: se io definisco la I forma in quel modo, noto che $phi(u,v)$ è la mappa $phi:U->R^3$ quind in realtà quello che esce da questa mappa è proprio la figura che ho come superficie di $RR^3$ infatti la mappa mi dà le coordinate (x,y,z), ora $phi_u$ e $phi_v$ sono i vettori tangenti a quella figura.
Poi definisco la matrice A trmaite i prodotti scalari di $phi_u$ e $phi_v$ equindi che cosa c'è di intrinseco?
io sto usando proprio vettori tangenti a una figura che ha forma data da $phi:U->R^3$ quindi direi che dipende eccome dalla immersione e da come la figura si realizza geometricamente in esso.2) La seconda dmanda è questa, se io cambio parametrizzazione io avrò $phi'_i, i in {u,v}$ che cambiera da quelli iniziali, quindi mi troverò E', F',G'.
però ad esempio per un oggetto (mettiamo una sfera) la curvatura è fissa e dipende solo da E F G no? Ebbene, ma se io ho cambiato parametrizzazione e ho E' F' G' perché la curvatura non dovrebbe cambiarmi? Sono valori diversi.
Mi viene da dire che cambiando parametrizzazione mi cambia I forma fondamentale e qundi mi cambia la curvatura (ma non dovrebbe essere così obv)
Vi prego potreste aiutarmi?
Risposte
L'aiuto e' molto semplice.
La curvatura dipende da E, F, G ma anche dai parametri della seconda forma fondamentale che vengono chiamati L, M, N.
Chiaramente E, F, G, e anche L, M, N cambiano a seconda della parametrizzazione.
I singoli parametri non sono intrinseci alla superficie, ma dipendono appunto dalla parametrizzazione.
Quello che non cambia e' la curvatura della superficie che si calcola con le formule spiegate qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Parametri ... #Curvature
$${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},\quad H={\frac {EN-2FM+GL}{2(EG-F^{2})}}.}$$
Il perche' del fatto che la curvatura non cambia pur se i parametri E, ... N cambiano e' una magia che viene spiegata con la dimostrazione del Theorema Egregium ad es. qui: https://www.dpmms.cam.ac.uk/~jar60/Egregium.pdf
La curvatura dipende da E, F, G ma anche dai parametri della seconda forma fondamentale che vengono chiamati L, M, N.
Chiaramente E, F, G, e anche L, M, N cambiano a seconda della parametrizzazione.
I singoli parametri non sono intrinseci alla superficie, ma dipendono appunto dalla parametrizzazione.
Quello che non cambia e' la curvatura della superficie che si calcola con le formule spiegate qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Parametri ... #Curvature
$${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},\quad H={\frac {EN-2FM+GL}{2(EG-F^{2})}}.}$$
Il perche' del fatto che la curvatura non cambia pur se i parametri E, ... N cambiano e' una magia che viene spiegata con la dimostrazione del Theorema Egregium ad es. qui: https://www.dpmms.cam.ac.uk/~jar60/Egregium.pdf
Il fatto che mi lascia un po' perplesso è il seguente: nella dimostrazione seguita dal professore si va a sfruttare il formalismo dei simboli di christoffel, i quali sono legati solamente agli E, F, G della I^ forma fondamentale.
In sostanza dimostra il thm egregium dicendo che è intrinseco dato che ha una dipendenza dai soli termini di christoffel i quali dipendono solo dalla metrica o prima forma.
Ecco perché dicevo che se io mostro che la curvatura dipende solo dai simboli di christoffel che a loro volta dipendeono solo da E,F e G non mi ritrovo su due cose:
2) cambiando parametrizzazione cambiano E', F', G' e quindi i simboli di christoffel e quindi la curvatura
non capisco quindi seguendo quella dimostrazione del prof come verifico questo aspetto.
Inoltre c'è una cosa del punto 1) del primo post che non mi è chiarissimo riguardo una frase detta dal professore ma che forse ho interpretato male e vorrei chiederti un parere.
Il punto è questo, io inizio parametrizzando la superficie con $phi:U->RR^3$ (con U aperto di $RR^2$) questa mappa mi dà delle coordinate di $RR^3$ di volta in volta a variare di u,v in $phi(u,v)$.
Questa parametrizzazione mi dà gratis la base ${phi_u, phi_v}$. Fin qua direi nessun problema.
Ora diviene evidente che definendo la matrice della metrica con i prodotti $phi_u,*phi_v$ con le 4 permutazioni u,v, vuol dire che definisco la metrica sfruttando i vettori tangenti alla data superficie immersa.
Ora la frase sibillina del prof, lui ha affermato che: i simboli di christoffel non dipendono dalla particolare immersione, cioè da come viene realizzata nello spazio $RR^3$ ma sono prpri della superficie proprio per via del fatto che dipendono solo dalla I forma... e io in questo non mi ci ritrovo, ti spiego: se io ho la mappa $phi(u,v)=(x,y,x)$ quello che voglio dire è che la mappa mi dà proprio le coordinae di $RR^3$ per "disegnarla" e quindi mi dà automaticamnte l'immersione della superficie in R3 e la FORMA che assume in esso, poi quando prendo i vettori tangenti che mi determinano la forma fondamentale evidentemente io sfrutto i vettori tangenti a quella particolare forma della superficie. Quindi non capisco bene questa frase: se i simboli di christoffel dipendono solo dalla metrica e la metrica dipende dal prodotto di vettori tangenti alla particolare immersione, perché mai i simboli dovrebbero essere slegati dalla forma della superficie immersa ed essere intrinseci?
Inoltre anche se avesse voluto dire (e si fosse confuso) "la curvatura poi non dipenderà dalla particolare (forma) dell'immersione", non avrebbe sens, perché non vedo come la metrica non ne dipenda. Ma in realtà anche la curvatura mi sembra dipenderne dalla forma perché appunto dipende dai simboli di C. i quali dipendono sempre da quei prodotti dei vettori.
Quello che mi sembra volesse dire è questo: se io immergo il "concetto astratto" di sfera in R3 ho diverse figure realizzbili nello spazio, però tutte mantengono la stessa curvatura. E io non capisco questo concetto. Spero potrai aiutarmi su questa confusione perché ci penso da giorni e non capisco proprio.
Spero potrai aiutarmi ad uscirne.
Ti ringrazio.
PS: dimenticavo un'ultima cosa utile nel discorso sopra
In sostanza dimostra il thm egregium dicendo che è intrinseco dato che ha una dipendenza dai soli termini di christoffel i quali dipendono solo dalla metrica o prima forma.
Ecco perché dicevo che se io mostro che la curvatura dipende solo dai simboli di christoffel che a loro volta dipendeono solo da E,F e G non mi ritrovo su due cose:
2) cambiando parametrizzazione cambiano E', F', G' e quindi i simboli di christoffel e quindi la curvatura
non capisco quindi seguendo quella dimostrazione del prof come verifico questo aspetto.Inoltre c'è una cosa del punto 1) del primo post che non mi è chiarissimo riguardo una frase detta dal professore ma che forse ho interpretato male e vorrei chiederti un parere.
Il punto è questo, io inizio parametrizzando la superficie con $phi:U->RR^3$ (con U aperto di $RR^2$) questa mappa mi dà delle coordinate di $RR^3$ di volta in volta a variare di u,v in $phi(u,v)$.
Questa parametrizzazione mi dà gratis la base ${phi_u, phi_v}$. Fin qua direi nessun problema.
Ora diviene evidente che definendo la matrice della metrica con i prodotti $phi_u,*phi_v$ con le 4 permutazioni u,v, vuol dire che definisco la metrica sfruttando i vettori tangenti alla data superficie immersa.
Ora la frase sibillina del prof, lui ha affermato che: i simboli di christoffel non dipendono dalla particolare immersione, cioè da come viene realizzata nello spazio $RR^3$ ma sono prpri della superficie proprio per via del fatto che dipendono solo dalla I forma... e io in questo non mi ci ritrovo, ti spiego: se io ho la mappa $phi(u,v)=(x,y,x)$ quello che voglio dire è che la mappa mi dà proprio le coordinae di $RR^3$ per "disegnarla" e quindi mi dà automaticamnte l'immersione della superficie in R3 e la FORMA che assume in esso, poi quando prendo i vettori tangenti che mi determinano la forma fondamentale evidentemente io sfrutto i vettori tangenti a quella particolare forma della superficie. Quindi non capisco bene questa frase: se i simboli di christoffel dipendono solo dalla metrica e la metrica dipende dal prodotto di vettori tangenti alla particolare immersione, perché mai i simboli dovrebbero essere slegati dalla forma della superficie immersa ed essere intrinseci?
Inoltre anche se avesse voluto dire (e si fosse confuso) "la curvatura poi non dipenderà dalla particolare (forma) dell'immersione", non avrebbe sens, perché non vedo come la metrica non ne dipenda. Ma in realtà anche la curvatura mi sembra dipenderne dalla forma perché appunto dipende dai simboli di C. i quali dipendono sempre da quei prodotti dei vettori.
Quello che mi sembra volesse dire è questo: se io immergo il "concetto astratto" di sfera in R3 ho diverse figure realizzbili nello spazio, però tutte mantengono la stessa curvatura. E io non capisco questo concetto. Spero potrai aiutarmi su questa confusione perché ci penso da giorni e non capisco proprio.
Spero potrai aiutarmi ad uscirne.
Ti ringrazio.
PS: dimenticavo un'ultima cosa utile nel discorso sopra
Se ci fossero interessati, per non lasciare la discussione qui da noi desolata, ho provato a chiedere qui:
https://math.stackexchange.com/question ... -curvature e queste son state le risposte.
Lascioper interessati e/o futuri lettori;
Ciao, Fabio.
https://math.stackexchange.com/question ... -curvature e queste son state le risposte.
Lascioper interessati e/o futuri lettori;
Ciao, Fabio.
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