Help:algebra lineare

[notifier]

ragazzi sto studiando la riduzione di una matrice,non necessariamente quadrata,per righe

non ho capito bene con quale criterio si scelgono gli elementi speciali

mi potreste aiutare?

[Steven11]

Ciao,
sarebbe opportuno che tu modificassi il titolo, mettendolo in minuscolo, per una questione di ordine complessivo.

Grazie per la comprensione

[Dorian1]

Cosa intendi per "elementi speciali"?

[netarrow]

noi per elementi speciali in una matrice ridotta per righe intendiamo quegli elementi che hanno la caratteristica di avere solo elementi nulli sotto di loro oppure nessun elemento:

$((1, 1, 1), (0, 2, 1), (0, 0, 3))$

qui gli elementi speciali sono 1, 2 e 3. Credo si riferisca anche lui a quello.

Cmq per ridurre una matrice a noi la prof ci ha fatto un discorso fra "soluzioni artigianali e soluzioni algoritmiche".
Cioè fare o occhio le trasformazioni o seguire un procedimento che si potrebbe insegnare a un computer che funziona al 100% (ma è una sorta di brute force), a noi il libro mostra questo:

Sia la matrice $A = (a_{ij}) in K^{m,n}$
Sia $R_i$ la prima riga non nulla di A e sia $a_{ij}$ il primo elemento non nullo di $R_i$.
Per ottenere $A'$ tale che abbia sotto $a_{ij}$ solo zeri si opera con trasformazioni di tipo D) come segue:

$R_k rarr R_k - a_{kj}a_{ij}^-1R_i$ per ogni $k > i$

Ora si considera la matrice $A'$ così ottenuta e si itera il procedimento:

Sia $R'_h$ la prima riga non nulla di $A'$ con $h > i$. Sia $a'_h$ il primo elemento non nullo di $R'_h$ si operano le seguenti trasformazioni:

$R'_k rarr R'_k - a'_{kp}a'_{hp}^-1R'_h$ per ogni $k > h$

si continua fino ad arrivare alla matrice ridotta per righe.

Però così i calcoli si possono complicare quindi parti da quello e se vedi che puoi fare prima scambiando due righe o moltiplicando per uno scalare una riga lo fai.

Cmq partendo da un esempio che ho qui sul libro:

$A = ((2, 1, -1, 1), (3, 1, 1, -1), (0, 1, 1, 9))$

e seguiamo l'algoritmo: la prima riga non nulla è subito la prima dovrà avere come elemento speciale nella prima colonna il 2, quindi 3 deve diventare 0.
Quindi bisogna fare una trasformazione con un $\lambda$ tale che $3 - \lambda*2 = 0$ ovvero $\lambda = 3/2$

quindi si ha la trasformazione:

$R_2 rarr R_2 - 3/2R_1$

quindi otteniamo $A' = ((2, 2, -1, 0), (0, -1/2, 5/2, -5/2), (0, 1, 1, 9))$

ora l'elemento speciale sarà $-1/2$

e per annullare l'1 che è sotto di lui dovrai fare:

$R_3 rarr R_3 -(-2)R_2$

e quindi avrai ridotto la matrice, però dovrai farti i calcoli con le frazioni che è noioso.

Quindi puoi fare la riduzione ad occhio usando scambi fra righe o moltiplicando per uno scalare una riga e poi eseguendo somme o differenza.

ciao

[Lorin1]

gli elementi speciali di cui parli si chiamano Pivot....