Help Tensori!
Salve, cercherò di essere il più chiaro possibile. Non riesco a digerire questa definizione di tensore:
http://it.wikipedia.org/wiki/Tensore#Definizione
che definisce appunto un tensore come una forma multilineare su k vettori e h covettori che se capisco bene il significato della freccia da come
risultato uno scalare, quindi
$ T(w_1,ldots,w_h,v_1,ldots,v_k) -> CC $
Ora successivamente ci sono degli esempi, come il determinante (matrice 3x3) rappresentabile come un tensore di ordine (0,3) (ovvero h=0 e k=3), e questo mi torna infatti il determinante di una matrice è uno scalare, poi wikipedia fa l'esempio di un endomorfismo ed è qui che non capisco. L'endomorfismo, dice, è rappresentabile come un tensore (1,1) cioè un'applicazione multilineare su un vettore e un covettore, ma a me non torna!!! Un endomorfismo dà come risultato un vettore nello stesso spazio vettoriale su cui è applicato, non uno scalare!!! Dov'è lo scalare?
Quindi la pagina scrive che il tensore rappresentante l'endomorfismo è $ T(w,v)=w(f(v)) $ dove presumo f sia l'endomorfismo, v il vettore e w il covettore ovvero un funzionale lineare applicato a $ f(v) $ , e anche questa cosa non mi è affato chiara. Qualcuno potrebbe gentilmente darmi dei chiarimenti magari mediante la matrice con cui si rappresenta un endomorfismo in questione, grazie in anticipo.
http://it.wikipedia.org/wiki/Tensore#Definizione
che definisce appunto un tensore come una forma multilineare su k vettori e h covettori che se capisco bene il significato della freccia da come
risultato uno scalare, quindi
$ T(w_1,ldots,w_h,v_1,ldots,v_k) -> CC $
Ora successivamente ci sono degli esempi, come il determinante (matrice 3x3) rappresentabile come un tensore di ordine (0,3) (ovvero h=0 e k=3), e questo mi torna infatti il determinante di una matrice è uno scalare, poi wikipedia fa l'esempio di un endomorfismo ed è qui che non capisco. L'endomorfismo, dice, è rappresentabile come un tensore (1,1) cioè un'applicazione multilineare su un vettore e un covettore, ma a me non torna!!! Un endomorfismo dà come risultato un vettore nello stesso spazio vettoriale su cui è applicato, non uno scalare!!! Dov'è lo scalare?
Quindi la pagina scrive che il tensore rappresentante l'endomorfismo è $ T(w,v)=w(f(v)) $ dove presumo f sia l'endomorfismo, v il vettore e w il covettore ovvero un funzionale lineare applicato a $ f(v) $ , e anche questa cosa non mi è affato chiara. Qualcuno potrebbe gentilmente darmi dei chiarimenti magari mediante la matrice con cui si rappresenta un endomorfismo in questione, grazie in anticipo.
Risposte
Ma infatti non è proprio ovvio. Si deve dimostrare che esiste un isomorfismo tra lo spazio dei tensori di tipo $(1,1)$ e lo spazio degli endomorfismi lineari. Fatto questo, si osserva che tale isomorfismo è canonico (non dipende da alcuna scelta) e quindi i due spazi si possono identificare tra loro. Ma non è che "per definizione" un tensore di tipo $(1,1)$ è un endomorfismo.
Aspetta forse non hai capito dove voglio parare. Prendiamo un endomorfismo su uno spazio V con base $ u_i $
$ T(x)=x^iT(u_i) $ questo può essere scritto come [tex]T(x)=x^ia^j_i u_j $[/tex] posto $ A=(J(T(u_i))) $ una matrice i cui elementi sono [tex]$ a^j_i $[/tex] e
J è l'isomorfismo canonico.
Ora il tensore cosa sarebbe? La matrice A?
L'endomorfismo quindi associa alla base e le componenti controvarianti di un vettore di uno spazio V altre componenti controvarianti del nuovo vettore, giusto?
Dove sta sta maledetta applicazione multilineare che da lo scalare sul campo $ CC $ o $ RR $.
$ T(x)=x^iT(u_i) $ questo può essere scritto come [tex]T(x)=x^ia^j_i u_j $[/tex] posto $ A=(J(T(u_i))) $ una matrice i cui elementi sono [tex]$ a^j_i $[/tex] e
J è l'isomorfismo canonico.
Ora il tensore cosa sarebbe? La matrice A?
L'endomorfismo quindi associa alla base e le componenti controvarianti di un vettore di uno spazio V altre componenti controvarianti del nuovo vettore, giusto?
Dove sta sta maledetta applicazione multilineare che da lo scalare sul campo $ CC $ o $ RR $.
Il tensore è quello che ti assegna l'isomorfismo canonico. Precisamente è lui:
$t=a_j^iu_i \otimes u^j$,
dove $(u^j)_{j=1...n}$ è la base duale di $(u_j)_{j=1...n}$.
Questo nella trattazione moderna. Nella trattazione classica un tensore "è" la lista delle sue componenti con la prescrizione che essa si trasformi in un certo modo per cambiamento di coordinate. Quindi nella trattazione classica il tensore "è" la matrice $A$ a patto che ci ricordiamo come essa varia cambiando coordinate. Maggiori informazioni su questo punto di vista nel pdf di Sharipov:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#500966
$t=a_j^iu_i \otimes u^j$,
dove $(u^j)_{j=1...n}$ è la base duale di $(u_j)_{j=1...n}$.
Questo nella trattazione moderna. Nella trattazione classica un tensore "è" la lista delle sue componenti con la prescrizione che essa si trasformi in un certo modo per cambiamento di coordinate. Quindi nella trattazione classica il tensore "è" la matrice $A$ a patto che ci ricordiamo come essa varia cambiando coordinate. Maggiori informazioni su questo punto di vista nel pdf di Sharipov:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#500966
Grazie mi stai chiarendo molto le idee, in pratica se io avessi una base ortonormale canonica sia in V che in V* si troverebbe che
$ u_i \otimes u^j=0 $ giusto?
Ritornando alla definizione algebrica moderna [tex]T:\begin{matrix} \underbrace{V^* \times V^* \times V^* \times V^* } \\ h \end{matrix} \begin{matrix} \times \underbrace{V \times V \times V } \\ k \end{matrix} \rightarrow K[/tex] dove K è il campo su cui sono definiti gli spazi vettoriali, non riesco a collegarla con quella appena trovata di endomorfismo e tensore associato (appunto che assegna l'isomorfismo), dov'è questo output in K non riesco a vederlo
$ u_i \otimes u^j=0 $ giusto?
Ritornando alla definizione algebrica moderna [tex]T:\begin{matrix} \underbrace{V^* \times V^* \times V^* \times V^* } \\ h \end{matrix} \begin{matrix} \times \underbrace{V \times V \times V } \\ k \end{matrix} \rightarrow K[/tex] dove K è il campo su cui sono definiti gli spazi vettoriali, non riesco a collegarla con quella appena trovata di endomorfismo e tensore associato (appunto che assegna l'isomorfismo), dov'è questo output in K non riesco a vederlo
"Sontom Vinkel":Assolutamente no. Quello che si annulla è il prodotto scalare: $u_i cdot u_j=0$ se $i ne j$. Il prodotto tensoriale è un'altra cosa che non c'entra nulla. Poi che cosa significa "base ortonormale canonica"? E cosa c'entra la scelta di una base, tutte queste operazioni si definiscono proprio per avere una teoria coordinate-free. Vediti per bene la definizione di prodotto tensoriale.
Grazie mi stai chiarendo molto le idee, in pratica se io avessi una base ortonormale canonica sia in V che in V* si troverebbe che
$ u_i \otimes u^j=0 $ giusto?
Ritornando alla definizione algebrica moderna [tex]T:\begin{matrix} \underbrace{V^* \times V^* \times V^* \times V^* } \\ h \end{matrix} \begin{matrix} \times \underbrace{V \times V \times V } \\ k \end{matrix} \rightarrow K[/tex] dove K è il campo su cui sono definiti gli spazi vettoriali, non riesco a collegarla con quella appena trovata di endomorfismo e tensore associato (appunto che assegna l'isomorfismo), dov'è questo output in K non riesco a vederloOrmai non so più come dirtelo. Per forza non riesci a vederlo, un endomorfismo è una cosa e un tensore di tipo $(1,1)$ un'altra. Esiste poi una applicazione che associa ad un endomorfismo un unico tensore e ad un tensore un unico endomorfismo. Ma non puoi trovare "un output in $K$" in un endomorfismo perché un endomorfismo non è un tensore.
"dissonance":Assolutamente no. Quello che si annulla è il prodotto scalare: $u_i cdot u_j=0$ se $i ne j$. Il prodotto tensoriale è un'altra cosa che non c'entra nulla. Poi che cosa significa "base ortonormale canonica"? E cosa c'entra la scelta di una base, tutte queste operazioni si definiscono proprio per avere una teoria coordinate-free. Vediti per bene la definizione di prodotto tensoriale.
[quote="Sontom Vinkel"]Grazie mi stai chiarendo molto le idee, in pratica se io avessi una base ortonormale canonica sia in V che in V* si troverebbe che
$ u_i \otimes u^j=0 $ giusto?
Ritornando alla definizione algebrica moderna [tex]T:\begin{matrix} \underbrace{V^* \times V^* \times V^* \times V^* } \\ h \end{matrix} \begin{matrix} \times \underbrace{V \times V \times V } \\ k \end{matrix} \rightarrow K[/tex] dove K è il campo su cui sono definiti gli spazi vettoriali, non riesco a collegarla con quella appena trovata di endomorfismo e tensore associato (appunto che assegna l'isomorfismo), dov'è questo output in K non riesco a vederloOrmai non so più come dirtelo. Per forza non riesci a vederlo, un endomorfismo è una cosa e un tensore di tipo $(1,1)$ un'altra. Esiste poi una applicazione che associa ad un endomorfismo un unico tensore e ad un tensore un unico endomorfismo. Ma non puoi trovare "un output in $K$" in un endomorfismo perché un endomorfismo non è un tensore.[/quote]
Scusa scusa ho sbagliato ho il cervello fuso, volevo scrivere che in pratica se io avessi una base ortonormale canonica sia in V che in V* si troverebbe che
$ u_i \otimes u^j=I $ (matrice identità) . Riguardo la seconda cosa che mi hai detto ci devo riflettere, se hai detto che $t=a_j^iu_i \otimes u^j$ è un tensore lasciando perdere l'endomorfismo, secondo la definizione dov'è l'output scalare? Scusami e grazie per la pazienza.
Ma le definizioni le hai mai lette? Secondo me no.
[list=1][*:kcy9bd3m]Mi spieghi che significa "base ortonormale canonica"? [/*:m:kcy9bd3m]
[*:kcy9bd3m]
[*:kcy9bd3m]
[list=1][*:kcy9bd3m]Mi spieghi che significa "base ortonormale canonica"? [/*:m:kcy9bd3m]
[*:kcy9bd3m]
si troverebbe che $u_i otimes u^j=I$ (matrice identità)No. No. No. Vai a leggere la definizione di $otimes$.[/*:m:kcy9bd3m]
[*:kcy9bd3m]
dov'è l'output scalare?E per forza non lo trovi. Se non sai che cos'è $otimes$ come puoi capire la scrittura $u_i otimes u^j$?[/*:m:kcy9bd3m][/list:o:kcy9bd3m]Allora, invece di "scusarti" (non ti devi scusare di niente, non fai un dispetto a me scrivendo cose sbagliate), prendi un buon libro di calcolo tensoriale e leggine i primi paragrafi. Parti da zero, mi raccomando, è importante.
Intendevo base ortonormale
[tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ,[/tex] ,
ora se siamo nello spazio euclideo la base dello spazio duale potrebbe essere
[tex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
infatti [tex]u^j(u_i)= \delta_i^j[/tex] o sto sbagliando tutto? Almeno da quello che ho letto in delle dispense.
Quindi il prodotto tensoriale [tex]u^j \otimes u_i = I[/tex] ????
[tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ,[/tex] ,
ora se siamo nello spazio euclideo la base dello spazio duale potrebbe essere
[tex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
infatti [tex]u^j(u_i)= \delta_i^j[/tex] o sto sbagliando tutto? Almeno da quello che ho letto in delle dispense.
Quindi il prodotto tensoriale [tex]u^j \otimes u_i = I[/tex] ????
La prima parte del tuo post è pure corretta. Ma trai una conclusione sbagliata. In primo luogo prendendo il prodotto tensoriale $u^j otimes u_i$ ottieni un tensore di tipo $(1,1)$ e non una matrice. Volendo, puoi identificare questo tensore con la matrice delle sue componenti rispetto alla base $u_1, u_2, u_3$, ma questa matrice non è l'identità. Infatti è la matrice avente tutte le entrate nulle tranne la $i, j$-esima che vale $1$.
Mmmmm se non ti costa molto potresti scrivermela???
Che cos'altro ti dovrei scrivere, non capisco. Com'è fatta la matrice associata a $u_j otimes u^i$? Te l'ho detto come è fatta: ogni entrata è nulla a parte quella sulla $i$-esima riga e $j$-esima colonna che vale $1$.
Scusami ma ancora non capisco bene,
allora ad esempio per i=1 e J=2 $u_2 otimes u^1$ a cosa è uguale?
e sarebbe l'elemento della riga 1 colonna 2?
allora ad esempio per i=1 e J=2 $u_2 otimes u^1$ a cosa è uguale?
e sarebbe l'elemento della riga 1 colonna 2?
Dipende dalla dimensione dello spazio vettoriale di riferimento. Se è, per esempio, 3 allora la matrice associata a $u_2 otimes u^1$ è
$((0,1,0), (0,0,0), (0,0,0))$.
Però, vabbé, adesso abbiamo parlato così ma ricordo e sottolineo: un tensore non è una matrice. E secondo me tu hai le idee troppo confuse. Apri un buon libro di calcolo tensoriale e studiati i primi paragrafi.
$((0,1,0), (0,0,0), (0,0,0))$.
Però, vabbé, adesso abbiamo parlato così ma ricordo e sottolineo: un tensore non è una matrice. E secondo me tu hai le idee troppo confuse. Apri un buon libro di calcolo tensoriale e studiati i primi paragrafi.
Grazie davvero della tua immensa disponibilità, mi sorge un dubbio allora (tra i tanti) $u_2 otimes u^1$ è un tensore (1,1) ma $u_j otimes u^i$ non è allora un tensore (3,3) ???
$t=a_j^iu_i \otimes u^j$ facendo il prodotto tensoriale di questo affare con la contrazione degli indici (sommatoria sugli indici ripetuti) ottengo uno scalare, in pratica questo tensore è un isomorfismo che mi rappresenta il mio endomorfismo???
$t=a_j^iu_i \otimes u^j$ facendo il prodotto tensoriale di questo affare con la contrazione degli indici (sommatoria sugli indici ripetuti) ottengo uno scalare, in pratica questo tensore è un isomorfismo che mi rappresenta il mio endomorfismo???
"Sontom Vinkel":No. Non hai capito bene. Così non andremo da nessuna parte, temo. Da dove stai studiando? Hai un libro di riferimento, o delle dispense? Se la risposta è "no", cosa studi? Se non ce l'hai vediamo di trovare un buon libro di riferimento perché ne hai bisogno.
Grazie davvero della tua immensa disponibilità, mi sorge un dubbio allora (tra i tanti) $u_2 otimes u^1$ è un tensore (1,1) ma $u_j otimes u^i$ non è allora un tensore (3,3) ???
Vediamo se ho capito bene, fissato un i e un j il tensore che abbiamo visto insieme (che hai scritto tu) restituisce uno scalare, sarebbe questo il senso della definizione?
Qua http://www.dmi.unipg.it/~zappa/Alg_Lin_Cap4.pdf quello che proprio non capisco è il paragrafo 4.5 operatori come tensori si tipo (1,1)
Mi ci vorrebbe un esempio per capirlo penso, ma non riesco a trovarne.
Mi ci vorrebbe un esempio per capirlo penso, ma non riesco a trovarne.
Oh benissimo, almeno adesso sappiamo a quali definizioni fai riferimento. Ora è tardi, riprendiamo domani (tempo permettendo, eh!). Buonanotte.
Buona notte ragazzi! 
Passavo di qua e ne approfitto per salutare qualcuno!
P.S.: Dato che una dispensa di riferimento c'è l'hai, per adesso non ti suggerirei altro materiale; casomai solo dopo che hai capito!
Passavo di qua e ne approfitto per salutare qualcuno!
P.S.: Dato che una dispensa di riferimento c'è l'hai, per adesso non ti suggerirei altro materiale; casomai solo dopo che hai capito!
Ciao e buonanotte, buonanotte (per ora) anche ai tensori che mi fanno tendere il cervello. 
Vi posto queste due pagine http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur e http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_%2 ... atiques%29 fatte dai wikipediani francesi che mi stanno chiarendo molto le idee e mi sembrano fatte molto bene.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo