[HELP] Geometria curve
Ciao a tutti gli utenti di questo forum! Sono nuovo e mi sono iscritto a matematicamente soprattutto per trovare un aiuto. Ho alcuni esercizi di geometria che non sono riuscito a risolvere. C'è qualcuno che mi può aiutare? 
Grazie in anticipo
1) Determinare una parametrizzazione dell'equatore nella sfera S^2 C R^2 che sia della forma gamma : I=[0,2pgreco] -> S^2 e determinare il valore t0 E I t.c. gamma(t0)=(1/sqrt(2),1/sqrt(2),0)=P. Determinare una parametrizzazione del cerchio massimo beta per P inclinato di pigreco/6 rispetto all'equatore, cioè in modo che beta(t1)=P e beta'(t1) formi un angolo di pigreco/6 con gamma'(t0) in P. Determinare la torsione di beta. Svolgere l'esercizio in 2 modi: (1) calcolo diretto e (2) usando un'isometria di R^3
Grazie in anticipo1) Determinare una parametrizzazione dell'equatore nella sfera S^2 C R^2 che sia della forma gamma : I=[0,2pgreco] -> S^2 e determinare il valore t0 E I t.c. gamma(t0)=(1/sqrt(2),1/sqrt(2),0)=P. Determinare una parametrizzazione del cerchio massimo beta per P inclinato di pigreco/6 rispetto all'equatore, cioè in modo che beta(t1)=P e beta'(t1) formi un angolo di pigreco/6 con gamma'(t0) in P. Determinare la torsione di beta. Svolgere l'esercizio in 2 modi: (1) calcolo diretto e (2) usando un'isometria di R^3
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2) Provare che l'evoluta della spirale logaritmica alfa(t)=((e^-at)*cos(t), (e^-at)*sen(t), 0) dove a è un reale positivo che coincide con la curva stessa a meno di una rotazione e di un'omotetia. Determinare l'ascissa curvilinea di alfa e provare che la curvatura di alfa, come funzione dell'ascissa curvilinea, è della forma k(s) = 1/(-as+c) (*) dove c è una costante.
Provare che la curvatura di beta di una curva alfa con curvatura crescente è della forma kbeta = kalfa^3/kalfa' se beta e alfa differiscono per una rotazione ed un'omotetia si deve avere kbeta = alfa*kalfa quindi la curvatura della curva alfa deve verificare un'equazione differenziale. Provare che le soluzioni sono date dalla (*)
Provare che la curvatura di beta di una curva alfa con curvatura crescente è della forma kbeta = kalfa^3/kalfa' se beta e alfa differiscono per una rotazione ed un'omotetia si deve avere kbeta = alfa*kalfa quindi la curvatura della curva alfa deve verificare un'equazione differenziale. Provare che le soluzioni sono date dalla (*)
3) Data una curva piana alfa. Provare che le rette normali ad alfa sono tutte equidistanti da un punto se e solo se esistono costanti a,b t.c. k(s)=+- 1/(sqrt(as+b))
4) Sia alfa una curva R -> R^3 che rappresenti il centro di massa di un aereo in volo. L'aereo è un corpo rigido e, lungo alfa, ruoterà intorno ad un asse passante per il centro di massa. La rotazione è rappresentata da un vettore di velocità angolare lungo alfa dato da omega : R -> R^3 la cui direzione è l'asse di rotazione ed il cui modulo fornisca la velocità angolare di rotazione intorno all'asse. Fissato un punto P sull'aereo sia r : R -> R^3 il campo lungo alfa che rappresenta la congiungente fra centro di massa e P. Si ha allora r'=omega vettor r. In particololare se T,N,B è il riferimento di Frenet di alfa si ha
T'=omega vettor T , N'=omega vettor N , B'=omega vettor B.
Provare che omega=tT+kB dove k, t sono la curvatura e torsione di alfa. Provare che T' vettor T''=omega*k^2 nel caso alfa(s)=(a*cos(s/c), a*sen(s/c),b*(s/c)) con c=sqrt(a^2+b^2) , calcolare omega(s) e descrivere il moto dell'estremità di una delle ali come funzione del tempo
Spero di aver scritto in un linguaggio comprensibile. Se qualcuno mi risponde lo ringrazio. Ciao
T'=omega vettor T , N'=omega vettor N , B'=omega vettor B.
Provare che omega=tT+kB dove k, t sono la curvatura e torsione di alfa. Provare che T' vettor T''=omega*k^2 nel caso alfa(s)=(a*cos(s/c), a*sen(s/c),b*(s/c)) con c=sqrt(a^2+b^2) , calcolare omega(s) e descrivere il moto dell'estremità di una delle ali come funzione del tempo
Spero di aver scritto in un linguaggio comprensibile. Se qualcuno mi risponde lo ringrazio. Ciao
Qualcuno mi può rispondere? 
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