[HELP] Autovalori ,caratteriz. matrice (hermitiana...ecc)
ciao a tutti!
vi volevo sottoporre dei quesiti, son convinto che qualcuno che ha ben afferrato la materia potrebbe aiutarmi spendendo veramente qualche minutino o almeno cosi mi auguro
passiamo al sodo..
sia M la matrice:
$[(0, 1,0,0),(1, 0, 1,0),(0, 1, 0,1),(0, 0, 1,0)]$
1) discutere se la matrice è idempotente, nilpotente , unitaria, hermitiana, antihermitiana, altro
2) dire (senza calcolarli) se gli autovalori sono tutti reali, tutti immaginari, tutti in modulo unitario, tra essi c'è 0, altro
3)è diagonalizzabile in R? in C?
4)determinare gli autovalori e per ciascuno di essi indicare molteplicità algebrica e geometrica
sul punto 4 non ci sono problemi...
sul punto 3 neanche, anche se magari qualche accorgimento ad hoc sarebbe il benvenuto
i problemi stanno sul punto 1 e 2; sono convinto che con un analisi non profonda della matrice si possano trarre delle conclusioni ma mi mancano le basi di teoria necessarie a ciò
vi sarei quindi molto grato se qualcuno di voi ha modo di discutere sui punti uno e due...e magari 3..
GRAZIE MILLE, a prescindere
vi volevo sottoporre dei quesiti, son convinto che qualcuno che ha ben afferrato la materia potrebbe aiutarmi spendendo veramente qualche minutino o almeno cosi mi auguro
passiamo al sodo..
sia M la matrice:
$[(0, 1,0,0),(1, 0, 1,0),(0, 1, 0,1),(0, 0, 1,0)]$
1) discutere se la matrice è idempotente, nilpotente , unitaria, hermitiana, antihermitiana, altro
2) dire (senza calcolarli) se gli autovalori sono tutti reali, tutti immaginari, tutti in modulo unitario, tra essi c'è 0, altro
3)è diagonalizzabile in R? in C?
4)determinare gli autovalori e per ciascuno di essi indicare molteplicità algebrica e geometrica
sul punto 4 non ci sono problemi...
sul punto 3 neanche, anche se magari qualche accorgimento ad hoc sarebbe il benvenuto
i problemi stanno sul punto 1 e 2; sono convinto che con un analisi non profonda della matrice si possano trarre delle conclusioni ma mi mancano le basi di teoria necessarie a ciò
vi sarei quindi molto grato se qualcuno di voi ha modo di discutere sui punti uno e due...e magari 3..
GRAZIE MILLE, a prescindere
Risposte
Salta subito agli occhi che la matrice è hermitiana.
Quindi i suoi autovalori sono tutti ...
E' anche evidente che la matrice non è singolare. Quindi tra gli autovalori non c'è ...
Riempi gli spazi segnati con il puntino per rispondere ai punti 1 e 2.
Quindi i suoi autovalori sono tutti ...
E' anche evidente che la matrice non è singolare. Quindi tra gli autovalori non c'è ...
Riempi gli spazi segnati con il puntino per rispondere ai punti 1 e 2.
innanzitutto grazie mille dissonance
... reali
... 0
detto questo, mi sorge una domanda...
simmetrica e hermitiana tutto sommato sono concetti analoghi se non che uno si applica nel campo dei reali e uno nel campo dei complessi??
se m era nel campo dei reali non potevo parlare di matrice hermitiana, mentre si trattava a tutti gli effetti di matrice simmetrica...giusto?
inoltre mi sembra di capire che hermitiana implica autovalori tutti reali
non singolare implica tutti autovalori diversi da 0
hai mica qualche pagina con queste implicazioni ?
p.s. se hai msn e qualche minutino, me lo scriveresti in privato? (prometto di rubarti giusto qualche minutino.. )
grazie ancora
... reali
... 0
detto questo, mi sorge una domanda...
simmetrica e hermitiana tutto sommato sono concetti analoghi se non che uno si applica nel campo dei reali e uno nel campo dei complessi??
se m era nel campo dei reali non potevo parlare di matrice hermitiana, mentre si trattava a tutti gli effetti di matrice simmetrica...giusto?
inoltre mi sembra di capire che hermitiana implica autovalori tutti reali
non singolare implica tutti autovalori diversi da 0
hai mica qualche pagina con queste implicazioni ?
p.s. se hai msn e qualche minutino, me lo scriveresti in privato? (prometto di rubarti giusto qualche minutino..
)grazie ancora
Quello di matrice simmetrica e di matrice hermitiana sono concetti analoghi, non tutto sommato analoghi. La proprietà caratterizzante di queste matrici è quella di commutare con il prodotto scalare. Infatti, se
negli spazi $RR^n$, definiamo il prodotto scalare come $\langle v, w \rangle = v^T w$;
negli spazi $CC^n$, definiamo il prodotto hermitiano come $\langle v, w \rangle =v^T \bar{w}$ (alcuni preferiscono $\bar{v}^T w$, in ultima analisi non cambia nulla);
allora una matrice $A$ reale (risp. complessa) simmetrica (risp. hermitiana) è caratterizzata dall'identità
$\langle Av, w \rangle = \langle v, Aw \rangle$ per ogni $v, w \in RR^n$ (risp. in $CC^n$).
nel senso che essa è simmetrica (hermitiana) se e solo se si verifica quella formula. Chiaramente tutto questo discorso si può fare in astratto negli spazi vettoriali reali (risp. complessi) di dimensione finita; in quel caso invece che di matrici parleremo di operatori lineari e l'identità di sopra sarà la definizione di operatore simmetrico (risp. hermitiano). Scelta poi una base ortonormale, in coordinate rispetto a questa il discorso si ridurrà a quello su $RR^n$ (risp. $CC^n$).
Messo in chiaro questo, è facile vedere che una matrice hermitiana (e quindi, in particolare, una matrice reale simmetrica) ha autovalori tutti reali. Sia infatti $A$ una matrice hermitiana, sia $lambda$ un autovalore e $v$ un $lambda$-autovettore. Dalle
${(\langle Av, v \rangle = \langle v, Av \rangle), (Av=lambdav):}$;
segue subito che
$lambda\langle v, v \rangle = \bar{lambda} \langle v, v \rangle$;
ed essendo $v!=0$ (un autovettore è sempre non nullo) è anche $\langle v, v\rangle!=0$, quindi possiamo cancellarlo e ottenere
$lambda = \bar{lambda}$;
ovvero $lambda$ è reale.
______________________________________________________
Il discorso sull'autovalore nullo delle matrici singolari è invece molto più banale. Diciamo che una matrice $A$ è singolare se e solo se si verifica una delle seguenti condizioni equivalenti:
a) $A$ non è invertibile;
b) $det A=0$;
c) Il sistema $Ax=0$ ammette altre soluzioni oltre a $x=0$.
e potremmo fornire altre caratterizzazioni equivalenti, ma mi fermo qui perché è la c) quella che ci interessa. Infatti, il punto c) si può riformulare come
d) $A$ ha l'autovalore $0$.
______________________________________________________
Infine non ho né msn, né il minutino, e poi preferisco sempre discutere qui in chiaro, così che anche altri possano usufruire della discussione e parteciparvi.
negli spazi $RR^n$, definiamo il prodotto scalare come $\langle v, w \rangle = v^T w$;
negli spazi $CC^n$, definiamo il prodotto hermitiano come $\langle v, w \rangle =v^T \bar{w}$ (alcuni preferiscono $\bar{v}^T w$, in ultima analisi non cambia nulla);
allora una matrice $A$ reale (risp. complessa) simmetrica (risp. hermitiana) è caratterizzata dall'identità
$\langle Av, w \rangle = \langle v, Aw \rangle$ per ogni $v, w \in RR^n$ (risp. in $CC^n$).
nel senso che essa è simmetrica (hermitiana) se e solo se si verifica quella formula. Chiaramente tutto questo discorso si può fare in astratto negli spazi vettoriali reali (risp. complessi) di dimensione finita; in quel caso invece che di matrici parleremo di operatori lineari e l'identità di sopra sarà la definizione di operatore simmetrico (risp. hermitiano). Scelta poi una base ortonormale, in coordinate rispetto a questa il discorso si ridurrà a quello su $RR^n$ (risp. $CC^n$).
Messo in chiaro questo, è facile vedere che una matrice hermitiana (e quindi, in particolare, una matrice reale simmetrica) ha autovalori tutti reali. Sia infatti $A$ una matrice hermitiana, sia $lambda$ un autovalore e $v$ un $lambda$-autovettore. Dalle
${(\langle Av, v \rangle = \langle v, Av \rangle), (Av=lambdav):}$;
segue subito che
$lambda\langle v, v \rangle = \bar{lambda} \langle v, v \rangle$;
ed essendo $v!=0$ (un autovettore è sempre non nullo) è anche $\langle v, v\rangle!=0$, quindi possiamo cancellarlo e ottenere
$lambda = \bar{lambda}$;
ovvero $lambda$ è reale.
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Il discorso sull'autovalore nullo delle matrici singolari è invece molto più banale. Diciamo che una matrice $A$ è singolare se e solo se si verifica una delle seguenti condizioni equivalenti:
a) $A$ non è invertibile;
b) $det A=0$;
c) Il sistema $Ax=0$ ammette altre soluzioni oltre a $x=0$.
e potremmo fornire altre caratterizzazioni equivalenti, ma mi fermo qui perché è la c) quella che ci interessa. Infatti, il punto c) si può riformulare come
d) $A$ ha l'autovalore $0$.
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Infine non ho né msn, né il minutino, e poi preferisco sempre discutere qui in chiaro, così che anche altri possano usufruire della discussione e parteciparvi.
grazie mille ad entrambi (ma che dico mille..di più..sul serio) 
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