Gruppo fondamentale di due insiemi

[squalllionheart]

Devo calcolare il gruppo fondamentale di:
$X=S^2-{2 punti}$ e $Y$={unione di due circonferenze concentriche}.
Per quanto riguarda $pi_1(X)=ZZ$ dato che $RR^2$ è omeomorfo a $S^2-${1 punto}, dunque $RR^2-${1 punto} sarà omeomorfo a $S^2-${2 punti}, $RR^2-${1 punto} è omotopo a $S^1$...
Nel secondo caso che devo mettere $ZZ$ o specificare qualcosa??

[vict85]

Per il secondo dovresti partire da considerare le componenti connesse (il gruppo fondamentale è fisso per ogni punto all'interno di una componente connessa)... Comunque è $ZZ$ in ogni punto...

Per il primo a occhio dovrebbe andare bene. Volendo potresti far vedere che $S^1$ è un retratto di deformazione (credo forte ma all'ora tarda non sapreii) di $X$.

[squalllionheart]

Scusa se fosse stato ad esempio una circonferenza disgiunta con una retta, allora le componenti connesse per archi sono due, in una il gruppo fondamentale è $ZZ$ l'altro è banale, dunque è per tutto $ZZ$. Nel senso che non ho nessuna relazione che mi dice $pi_1(X uu Y)= pi_1(X) uu pi_1(Y)$ se $X$ e $Y$ sono le componenti connesse per archi...