Gruppi liberi
Sia $F_n$ il gruppo libero ad $n$ generatori, con $n\in \bar{N}=N\cup{\infty}$.
Mostrare che $F_2$ contiene copie di $F_n$, $\forall n\in\bar{N}$.
p.s. è gradita una soluzione topologica
p.p.s. non ho idea di quale sia
Mostrare che $F_2$ contiene copie di $F_n$, $\forall n\in\bar{N}$.
p.s. è gradita una soluzione topologica
p.p.s. non ho idea di quale sia
Risposte
Voglio sfruttare il seguente noto:
teorema:
Sia $p:E->X$ un rivestimento connesso di $X$ allora il gruppo fondamentale
di $E$ con punto base $e$ si immerge in quello di $X$ con punto base $p(e)$.
Sia ${r_i}_{i\inI}$ una famiglia al più numerabile di punti del piano $R^2$
e siano $p,q\inR^2$. Sia $E=R^2-{r_i}_{i\inI}$ ed $X=R^2-{p,q}$. Dunque
$E$ ha gruppo fondamentale il gruppo libero ad $n$(eventualmente infinito)
generatori ed $X$ il gruppo libero a 2 generatori. Voglio rivestire $X$ con $E$.
Ora, $E$ è un bouquet di una famiglia di circonferenze attaccate in un punto ed
$X$ è un bouquet di due circonferenze attaccate in un punto. L'idea è di costruire
il rivestimento staccando i petali dal bouquet grande e appoggiarli su quello
piccolo, alternando una circonferenza e l'altra, facendo però prima una piccola
rotazione di $\varepsilon+1/(2^n)$ (all'n-esimo passo).
Dunque questa mappa $p$ è continua e surjettiva (la controimmagine di un aperto è
unione di aperti). Mostro che è un rivestimento: sia $x\inX$ e $V$ un aperto connesso
contenente $x$, ovvero un arco di circonferenza, allora $p^{-1}(V)$, grazie alla
rotazione (che è fondamentale!) è fatto da unione disgiunta di archetti (della stessa lunghezza
di $V$) delle varie circonferenze del bouquet grande, infatti l'unico punto in cui tale
unione potrebbe non essere disgiunta è nel punto in comune alle varie circonferenze, ma
per come è costruita la mappa, per ogni $x\inX$ e $V$ suo intorno connesso,
esiste un solo archetto della controimmagine che passa per il centro del bouquet grande.
Dunque, se $e\inp^{-1}(V)$, la sua componente connessa dovrà necessariamente
essere uno di tali archetti, ed uno solo. Per cui, $p$ ristretta a tale componente
connessa è un omeomorfismo su $V$
bah... che ne pensate?
teorema:
Sia $p:E->X$ un rivestimento connesso di $X$ allora il gruppo fondamentale
di $E$ con punto base $e$ si immerge in quello di $X$ con punto base $p(e)$.
Sia ${r_i}_{i\inI}$ una famiglia al più numerabile di punti del piano $R^2$
e siano $p,q\inR^2$. Sia $E=R^2-{r_i}_{i\inI}$ ed $X=R^2-{p,q}$. Dunque
$E$ ha gruppo fondamentale il gruppo libero ad $n$(eventualmente infinito)
generatori ed $X$ il gruppo libero a 2 generatori. Voglio rivestire $X$ con $E$.
Ora, $E$ è un bouquet di una famiglia di circonferenze attaccate in un punto ed
$X$ è un bouquet di due circonferenze attaccate in un punto. L'idea è di costruire
il rivestimento staccando i petali dal bouquet grande e appoggiarli su quello
piccolo, alternando una circonferenza e l'altra, facendo però prima una piccola
rotazione di $\varepsilon+1/(2^n)$ (all'n-esimo passo).
Dunque questa mappa $p$ è continua e surjettiva (la controimmagine di un aperto è
unione di aperti). Mostro che è un rivestimento: sia $x\inX$ e $V$ un aperto connesso
contenente $x$, ovvero un arco di circonferenza, allora $p^{-1}(V)$, grazie alla
rotazione (che è fondamentale!) è fatto da unione disgiunta di archetti (della stessa lunghezza
di $V$) delle varie circonferenze del bouquet grande, infatti l'unico punto in cui tale
unione potrebbe non essere disgiunta è nel punto in comune alle varie circonferenze, ma
per come è costruita la mappa, per ogni $x\inX$ e $V$ suo intorno connesso,
esiste un solo archetto della controimmagine che passa per il centro del bouquet grande.
Dunque, se $e\inp^{-1}(V)$, la sua componente connessa dovrà necessariamente
essere uno di tali archetti, ed uno solo. Per cui, $p$ ristretta a tale componente
connessa è un omeomorfismo su $V$
bah... che ne pensate?
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