Gruppi di coomologia di De Rham

[G.G211]

Ciao a tutti! Ho un problema con la coomologia di de Rham:
Per definizione il k-mo gruppo dicoomologia diDe Rham è il gruppo quoziente tra le k-forme differenziali chiuse e le k-forme differenziali esatte.
Allora non riesco a capire perché $H_{dR}^{0}={f:RR->RR $$, f \in C^{\infty}, df=0}=RR$.

Così è come se non quozientassi con niente.. ma non capisco perché non si quozienti con niente!
Grazie anticipatamente!

[j18eos]

Domanda facile facile: chi sono le \(0\)-forme esatte su \(\mathbb{R}\)?

[G.G211]

Sono le funzioni $C^{\infty}$ che ammettono una primitiva

[j18eos]

Bene, a partire dalla definizione di \(H^0_{dR}(\mathbb{R})\): che cosa stai combinando?

[G.G211]

Forse ho capito: le 0-forme esatte in $RR$ sono le costanti che ammettono un a primitiva in $RR$. Quindi per trovare una primitiva di una costante $c$ dovrei trovare una $\alpha$ t.c $\alpha(x)=\int_{-\infty}^{x} c dt$ ma questo integrale diverge, quindi l'insieme delle 0-forme esatte in $RR$ è uguale a 0 ?

Spero di non aver detto cavolate!

[yellow2]

Stai facendo confusione per colpa della definizione di primitiva che si usa in analisi! Qui semplicemente nessuna 0-forma ammette primitiva (nel senso delle forme differenziali) perché le "-1"-forme non esistono! Per cui stai quozientanto lo spazio delle 0-forme chiuse per lo spazio banale, ottenendo uno spazio isomorfo a quello di partenza.
Tra l'altro l'argomentazione che hai cercato di arrabbattare non sta molto in piedi perché una costante ha primitive (nel senso dell'analisi) perfettamente definite.

(j18eos ti chiedo perdono per l'invasività )

[G.G211]

ok ora ho capito, grazie

[j18eos]

"yellow":...j18eos ti chiedo perdono per l'invasività

Ma quale invasività, anzi, mi sembrava che io avessi sbagliato qualcosa!