Gruppi di coomologia del piano proiettivo
Ciao a tutti! Mi sono persa a cercare di capire come si calcolano i gruppi di coomologia di de Rham del piano proiettivo.
Se ho capito bene dovrebbe essere così:
Consideriamo il ricoprimento di $P^2(RR)$ formato dagli aperti $U_1,U_2,U_3$ con $U_1=<(x_1,x_2,x_3)>$, con $x_1 != 0$, uguale per $U_2,U_3$. Ognuno di questi è isomorfo a $RR^2$.
Poniamo $U=U_1,V=U_2 uu U_3=P^2(RR)-{[1,0,0]}$.
Consideriamo gli isomorfismi $RR^2 rarr U_2$ che manda $(x_1,y_1)|-> [x_1,1,y_1]$, e $RR^2 rarr U_3$ che manda $(x_2,y_2)|-> [x_2,y_2,1]$ e a questo punto costruiamo un'omotopia:
$F: [0,1] xx RR^2 rarr RR^2$
$ (t, (x_1,y_1)) |-> (tx_1,y_1)$ Per t=1 abbiamo l'identità mentre per t=0 questa omotopia schiaccia $RR^2$ su $RR$.
Immaginiamo di fare la stessa cosa con le coordinate $(x_2,y_2)$ ovvero relativamente a $U_3$.
Quindi ho retratto $ P2(R)−{[1,0,0]} $ su una varietà formata da una coppia di $RR$, che è un atlante per $S^1$.
Quindi quando vado a vedere la successione di Mayer Vietoris:
$0 rarr H^0(P^2) rarr H^0(U) o+ H^0(V) rarr ....$ eccetera, a $V$ posso sostituire $S^1$ e a $U$ posso sostituire $RR^2$?
Se ho capito bene dovrebbe essere così:
Consideriamo il ricoprimento di $P^2(RR)$ formato dagli aperti $U_1,U_2,U_3$ con $U_1=<(x_1,x_2,x_3)>$, con $x_1 != 0$, uguale per $U_2,U_3$. Ognuno di questi è isomorfo a $RR^2$.
Poniamo $U=U_1,V=U_2 uu U_3=P^2(RR)-{[1,0,0]}$.
Consideriamo gli isomorfismi $RR^2 rarr U_2$ che manda $(x_1,y_1)|-> [x_1,1,y_1]$, e $RR^2 rarr U_3$ che manda $(x_2,y_2)|-> [x_2,y_2,1]$ e a questo punto costruiamo un'omotopia:
$F: [0,1] xx RR^2 rarr RR^2$
$ (t, (x_1,y_1)) |-> (tx_1,y_1)$ Per t=1 abbiamo l'identità mentre per t=0 questa omotopia schiaccia $RR^2$ su $RR$.
Immaginiamo di fare la stessa cosa con le coordinate $(x_2,y_2)$ ovvero relativamente a $U_3$.
Quindi ho retratto $ P2(R)−{[1,0,0]} $ su una varietà formata da una coppia di $RR$, che è un atlante per $S^1$.
Quindi quando vado a vedere la successione di Mayer Vietoris:
$0 rarr H^0(P^2) rarr H^0(U) o+ H^0(V) rarr ....$ eccetera, a $V$ posso sostituire $S^1$ e a $U$ posso sostituire $RR^2$?
Risposte
CIa0,
se non ho visto male: la risposta è sì!
se non ho visto male: la risposta è sì!
Grazie mille della risposta!
Avrei anche un'altra domanda: come posso fare a calcolare la coomologia del toro senza usare la formula di Kunneth? Ho pensato di utilizzare l'omeomorfismo del toro con $RR^2/ZZ^2$, ma non capisco che ricoprimento devo prendere.
Avrei anche un'altra domanda: come posso fare a calcolare la coomologia del toro senza usare la formula di Kunneth? Ho pensato di utilizzare l'omeomorfismo del toro con $RR^2/ZZ^2$, ma non capisco che ricoprimento devo prendere.
Spiacente, i rivestimenti non li ho ancora toccati [size=85]...purtroppo a Napoli ho studiato topologia generale senza andare oltre la definizione di omotopia 
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"G.G":
Grazie mille della risposta!
Avrei anche un'altra domanda: come posso fare a calcolare la coomologia del toro senza usare la formula di Kunneth? Ho pensato di utilizzare l'omeomorfismo del toro con $RR^2/ZZ^2$, ma non capisco che ricoprimento devo prendere.
Anche il toro si ottiene come quoziente del quadrato; usa gli stessi aperti che useresti per il teorema di Van Kampen e ricorda come sono fatte le mappe che usi nella successione di MV.
Quindi ponendo k=punto centrale del quadrato, a=un lato del quadrato, b=l'altro lato del quadrato il ricoprimento è dato da $A=T-{k}$ e $B=T-{a uu b}$, giusto? così ottengo che A intersecato B è omeomorfo a un quadrato meno un punto, che se non sbaglio è omeomorfo a $S^1$.
Quindi visto che T,A e B sono connessi ho che $H^0(T)=RR$, $H^0(A)=H^0(B)=RR$, e $H^0(A \cap B)=H^0(S^1)=RR$, $H^1(A \cap B)=H^1(S^1)=RR$, e $H^k(A\cap B)=0 $ per $k >=2$.
Allora vado a costruire MV:
$0->RR->RR\oplus RR->RR->H^1(T)->H^1(A)\oplusH^1(B)->RR->H^2(T)->H^2(A)\oplus H^2(B)->0->H^3(T)->H^3(A) \oplus H^3(B)->0$.
è giusto fino a qui?
Quindi visto che T,A e B sono connessi ho che $H^0(T)=RR$, $H^0(A)=H^0(B)=RR$, e $H^0(A \cap B)=H^0(S^1)=RR$, $H^1(A \cap B)=H^1(S^1)=RR$, e $H^k(A\cap B)=0 $ per $k >=2$.
Allora vado a costruire MV:
$0->RR->RR\oplus RR->RR->H^1(T)->H^1(A)\oplusH^1(B)->RR->H^2(T)->H^2(A)\oplus H^2(B)->0->H^3(T)->H^3(A) \oplus H^3(B)->0$.
è giusto fino a qui?
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