Giornataccia per me oggi... (Vettore tang curva di livello)

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7 feb 2007, 17:01

Quale dei seguenti è un vettore tangente alla curva di livello $e$ della funzione $f(x, y) = e^(x+xy^2)+log(sqrt(x) + 2y)$ nel punto $(1, 0)$?

Possibili risposte:

$(−2, e + 1/2)$ o $(−1,−2)$ o $(1/2, 2)$ o $ (e + 1/2, 1)$

-----

Le derivate parziali che mi vengono in $x_0$ e $y_0$ sono:

$f_x(1,0)= e + 1/2$
$f_y(1,0)= 2$

Non tiro fuori uno tra quei possibili vettori!

Il piano tangente (non richiesto) mi viene: $z= 2y + x(e+1/2)$

Oggi mi vanno tutte storte...
grazie

Risposte

Giova411

7 feb 2007, 17:18

Altro che non so fare:

Data la funzione $f(x, y) = (log(3x + y^2) − 2x)/(1 + y^2)$ , quale dei seguenti vettori è ortogonale in $(1/3, 0)$ alla
curva di livello $f(x, y) = −2/3$?

Possibili risposte:

$(0, 1)$ o $(1, 0)$ o $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ o $(1/sqrt(2),(-1/sqrt(2)))$

----

Trovo:
$f_x=1$
$f_y=0$

ma poi come ragiono?
Sul libro non c'é nulla, da' per scontato che sappia fare queste cose...

Giova411

7 feb 2007, 17:24

Per quest'ultimo ho pensato a:

$-<0,1>-$ perché moltiplicato per $-<1,0>-$ mi risulta zero...
Boh.

Camillo

7 feb 2007, 17:38

"Giova411":
Quale dei seguenti è un vettore tangente alla curva di livello $e$ della funzione $f(x, y) = e^(x+xy^2)+log(sqrt(x) + 2y)$ nel punto $(1, 0)$?

Possibili risposte:

$(−2, e + 1/2)$ o $(−1,−2)$ o $(1/2, 2)$ o $ (e + 1/2, 1)$

-----

Le derivate parziali che mi vengono in $x_0$ e $y_0$ sono:

$f_x(1,0)= e + 1/2$
$f_y(1,0)= 2$

Non tiro fuori uno tra quei possibili vettori!

Il piano tangente (non richiesto) mi viene: $z= 2y + x(e+1/2)$

Oggi mi vanno tutte storte...
grazie

Il vettore gradiente in un punto è normale alla retta tangente alla curva di livello in quel punto ; nel tuo caso il gradiente ha componenti $(e+1/2; 2 )$ .
Devi cercare tra le varie risposte quel vettore che sia perpendicolare al tuo vettore gradiente e tale quindi che il prodotto scalare tra grad e vettore sia = 0 : il primo direi.

Camillo

7 feb 2007, 17:45

"Giova411":
Per quest'ultimo ho pensato a:

$-<0,1>-$ perché moltiplicato per $-<1,0>-$ mi risulta zero...
Boh.

No , se il vettore che cerchi deve essere ortogonale aal curva di livello dovrà essere parallelo al vettore gradiente e quindi...

Giova411

7 feb 2007, 17:59

Camillo finalmente!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Mi stavo strappando i capelli oggi!!!!!

Matematica discreta (1 e 2) l'ho data 3 anni fa! Non ricordo nulla sui vettori...

Ma nel primo non deve essere tangente e nel seondo perpendicolare?

Giova411

7 feb 2007, 18:03

Quindi (1,0) il secondo problema. Ma anche qui dice "ortogonale"... Allora vedo la tangenza...

Quando dice tangente vedo l'ortogonalità?

Forse ho capito: siccome il gradiente è perpendicolare devo chiedermi il contrario di ciò che chiede? Giusto?
Camillo mi stai salvando la capoccia!!!

Ma perché nel secondo dice "...ortogonale alla curva di livello $f(x, y) = −2/3$"

Che dato è $-2/3$? Mi manda fuori strada... (Mi fanno i trabocchetti, mi fanno... Glié potessino...)

Giova411

7 feb 2007, 18:36

Data la funzione $f(x, y) = (log(x + 2y^2) + x)/(1 + y^2)$ , quale dei seguenti vettori è ortogonale in $(1, 0)$ alla curva di livello $f(x, y) = 1$?

Possibilità:
$(1, 0)$ o $(0, 1)$ o $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ o $(1/sqrt(2),(-1/sqrt(2)))$

---

Miei risultati:

$f_x = 2$ , $f_y=0$

Ho quindi $-<2,0>-$ e devo andare a cercare la tangenza. Se immagino di moltiplicare per $1/2$ ho $-<1,0>-$ giusto?
Dico $(1,0)$ a questo punto.

Camillo

7 feb 2007, 19:52

Calma, calma prima di tutto

Riassumo i punti fondamentali utili per risolvere gli esercizi :
* Il vettore gradiente ($grad f $ ) è ortogonale alle linee di livello , è cioè ortogonale alla retta tangente alle linee di livello in un certo punto .
*Quando 2 vettori sono ortogonali , il loro prodotto scalare (canonico) vale $ 0 $ .
*Il prodotto scalare (canonico) di due vettori $ v = (v_1, v_2 ) ; w=(w_1,w_2) $ è dato da :
$--$ =$v_1w_1+v_2w_2 $ : Se i due vettori sono perpendicolari allora $ -- = 0$

Non ho guardato come hai risolto gli esercizi .
Ti consiglio di riguardarli e risolverli tenedo presente queste considerazioni.
Certo che un ripasso sui vettori non farebbe male : i prof si incavolano, ed è giusto, se trovano carenze gravi su questioni di base....

Giova411

7 feb 2007, 20:01

"Camillo":

* Il vettore gradiente ($grad f $ ) è ortogonale alle linee di livello , è cioè ortogonale alla retta tangente alle linee di livello in un certo punto .

Ok, lo sapevo in teoria ma non l'ho agganciato alla pratica. In questi esercizi l'ho capito grazie a te!

"Camillo":

*Quando 2 vettori sono ortogonali , il loro prodotto scalare (canonico) vale $ 0 $ .
*Il prodotto scalare (canonico) di due vettori $ v = (v_1, v_2 ) ; w=(w_1,w_2) $ è dato da :
$--$ =$v_1w_1+v_2w_2 $ : Se i due vettori sono perpendicolari allora $ -- = 0$

Ok, l'avevo trovato in rete poco fa. (2 o 3 anni fa lo sapevo di sicuro...)

Si, a questo punto mi sembra di aver capito il ragionamento ma nel terzo mi rimane ancora un dubbio.
Perché, alla fine, dovevo cercare il vettore parallelo. Nelle soluzioni non c'era uguale ed ho pensato che ho il parallelismo se cmq un vettore è multiplo dell'altro:

"Giova411":
Data la funzione $f(x, y) = (log(x + 2y^2) + x)/(1 + y^2)$ , quale dei seguenti vettori è ortogonale in $(1, 0)$ alla curva di livello $f(x, y) = 1$?

Possibilità:
$(1, 0)$ o $(0, 1)$ o $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ o $(1/sqrt(2),(-1/sqrt(2)))$

---

Miei risultati:

$f_x = 2$ , $f_y=0$

Ho quindi $-<2,0>-$ e devo andare a cercare la tangenza. Se immagino di moltiplicare per $1/2$ ho $-<1,0>-$ giusto?
Dico $(1,0)$ a questo punto.

Was denkst du meine Freunde Camillo?