Geometria proiettiva
Ragazzi e ragazze ho bisogno di qualcuno che riesca a spiegarmi lo svolgimento di questo esercizio ( ovviamente, parteciperò anch'io alla risoluzione, sperando di capirne il procedimento):
nello spazio è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz.
Sono dati il punto $P_0=(2,2,1)$, e le rette r di equazioni x=2, y=3z-1 ed s di equazioni x=2y+1, z=-y$:
1) determinare i punti P appartenenti ad s tali che la distanza$P_0P=sqrt6$. Trovare la distanza tra le rette r, s.
2) scrivere l'equazione della quadrica Q contenente le rette r,s e la conica data dall'intersezione:
$z=0$
$x^2-3y^2=1$
determinare il tipo delle coniche sezione di Q con i piani del fascio di asse y.
Spero col vostro aiuto di essere in grado di risolverlo. Arrivandoci, magari, insieme alla soluzione. Grazie
Alex
edit: sto provando a svolgere il punto 1):
poichè si chiede la distanza $d(P_0P)=sqrt6$, impongo condizione:
$sqrt((2-x_1)^2+(2-y_1)^2+(1-z_1)^2)=sqrt6$
$(2-x_1)^2+(2-y_1)^2+(1-z_1)^2=6$
Trovo I parametri direttori della retta s: questi sono (2,1,-1).
Inoltre, poiché i punti $P(x_1,y_1,z_1)$ appartengono alla retta s, si deve avere l’equazione $2x_1+y_1-z_1=0$ verificata. Ma, come faccio a trovare le coordinate di P?
nello spazio è assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz.
Sono dati il punto $P_0=(2,2,1)$, e le rette r di equazioni x=2, y=3z-1 ed s di equazioni x=2y+1, z=-y$:
1) determinare i punti P appartenenti ad s tali che la distanza$P_0P=sqrt6$. Trovare la distanza tra le rette r, s.
2) scrivere l'equazione della quadrica Q contenente le rette r,s e la conica data dall'intersezione:
$z=0$
$x^2-3y^2=1$
determinare il tipo delle coniche sezione di Q con i piani del fascio di asse y.
Spero col vostro aiuto di essere in grado di risolverlo. Arrivandoci, magari, insieme alla soluzione. Grazie
Alex
edit: sto provando a svolgere il punto 1):
poichè si chiede la distanza $d(P_0P)=sqrt6$, impongo condizione:
$sqrt((2-x_1)^2+(2-y_1)^2+(1-z_1)^2)=sqrt6$
$(2-x_1)^2+(2-y_1)^2+(1-z_1)^2=6$
Trovo I parametri direttori della retta s: questi sono (2,1,-1).
Inoltre, poiché i punti $P(x_1,y_1,z_1)$ appartengono alla retta s, si deve avere l’equazione $2x_1+y_1-z_1=0$ verificata. Ma, come faccio a trovare le coordinate di P?
Risposte
io farei cosi' (boh magari mi sbaglio!..)
scrivi un generico punto della retta s $P_s(2t+1,t,-t))$
ed imponi la distanza dal punto $P_0 P_s$ come hai fatto tu..
troverai due valori di t.. che sostituito uno alla volta in $P_s$ (retta s) ottieni i punti cercati..
per la distanza tra le rette (suppongo siano sghembe.. se no sarebbe banale..)
potresti trovare i punti di minima distanza e calcolare la distanza di quei punti..:
scrivi un generico punto $P_r$ (mi raccomando usa un parametro diverso
da quello usato per $P_s$)
imponi che siano ortogonali alla direzione di $r$ e di $s$ (prodotto scalare=0)
risolvendo il sistema di due eq. trovi i un valore per un parametro e uno per l'altro.. sostituendoli nei punti generici relativi... trovi i due punti..
poi calcoli la distanza di quei punti)
scrivi un generico punto della retta s $P_s(2t+1,t,-t))$
ed imponi la distanza dal punto $P_0 P_s$ come hai fatto tu..
troverai due valori di t.. che sostituito uno alla volta in $P_s$ (retta s) ottieni i punti cercati..
per la distanza tra le rette (suppongo siano sghembe.. se no sarebbe banale..)
potresti trovare i punti di minima distanza e calcolare la distanza di quei punti..:
scrivi un generico punto $P_r$ (mi raccomando usa un parametro diverso
da quello usato per $P_s$)
imponi che siano ortogonali alla direzione di $r$ e di $s$ (prodotto scalare=0)
risolvendo il sistema di due eq. trovi i un valore per un parametro e uno per l'altro.. sostituendoli nei punti generici relativi... trovi i due punti..
poi calcoli la distanza di quei punti)
ti ringrazio per avermi risposto. Al più presto, non appena riuscirò a svolgerlo, pubblicherò miei procedimenti 
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