Geometria per sistemi dinamici
Penso che voi siate in grado di confermare o smentire alcune cose che forse non mi sono abbastanza chiare...
Il rango di una matrice è il numero di righe o colonne non nulle?
Il polinomio caratteristico di una matrice ha come soluzioni gli autovalori della matrice stessa? La ricerca degli autovalori è indifferente se fatta tramite il polinomio caratteristico $p(s)=det(sI-A)$o l'equazione da cui ricavo gli autovalori $p(λ)=(A-λI)$?
Il calcolo di $dim(ker(A-λI))$ equivale a $n-rango(A)$dove n è la dimensione della matrice A?
L'equazione $λ^2+4=0$ non ha radici strettamente minori di 0? $-2i$ e $2i$ sono le radici e non i poli?Quale è la corretta dizione?$λ^2+4=0$ ha un polo doppio e radici distinte?
Grazie in anticipo per eventuali risposte:)
Il rango di una matrice è il numero di righe o colonne non nulle?
Il polinomio caratteristico di una matrice ha come soluzioni gli autovalori della matrice stessa? La ricerca degli autovalori è indifferente se fatta tramite il polinomio caratteristico $p(s)=det(sI-A)$o l'equazione da cui ricavo gli autovalori $p(λ)=(A-λI)$?
Il calcolo di $dim(ker(A-λI))$ equivale a $n-rango(A)$dove n è la dimensione della matrice A?
L'equazione $λ^2+4=0$ non ha radici strettamente minori di 0? $-2i$ e $2i$ sono le radici e non i poli?Quale è la corretta dizione?$λ^2+4=0$ ha un polo doppio e radici distinte?
Grazie in anticipo per eventuali risposte:)
Risposte
"Thingol":
Il rango di una matrice è il numero di righe o colonne non nulle?
No, il rango di una matrice è la dimensione dello spazio generato dalle colonne di una matrice, o dalle righe, tanto il rango per colonne è uguale a quello per righe.
"Thingol":
Il polinomio caratteristico di una matrice ha come soluzioni gli autovalori della matrice stessa? La ricerca degli autovalori è indifferente se fatta tramite il polinomio caratteristico $p(s)=det(sI-A)$o l'equazione da cui ricavo gli autovalori $p(λ)=(A-λI)$?
Sì, gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico, e i modi che hai detto per il calcolo sono equivalenti.
"Thingol":
Il calcolo di $dim(ker(A-λI))$ equivale a $n-rango(A)$dove n è la dimensione della matrice A?
No, $dim(ker(A)) = n -rank(A)$, quindi $dim(ker(A - \lambda I)) = n - rank(A - \lambda I)$.
"Thingol":
L'equazione $λ^2+4=0$ non ha radici strettamente minori di 0? $-2i$ e $2i$ sono le radici e non i poli?Quale è la corretta dizione?$λ^2+4=0$ ha un polo doppio e radici distinte?
Questa equazione ha due soluzioni complesse coniugate: $\lambda_1=2i$ e $\lambda_2=-2i$, quindi gli autovalori della matrice (suppongo che quello sia un polinomio caratteristico) sono $\pm 2i$.
Perfetto. Grazie mille sei stato chiarissimo 
Prego.
Mi confermate alcune cose?:)
$A=((2,0,2),(0,0,0),(2,0,2))$
questa matrice ha 3 vettori linearmente dipendenti?
dim(ker(A))= 3?
V appartiente a $((1),(1),(-1))$ ?
edit
mi è sfuggito il - su un 2!! pardon 
$A=((2,0,2),(0,0,0),(2,0,2))$
questa matrice ha 3 vettori linearmente dipendenti?
dim(ker(A))= 3?
V appartiente a $((1),(1),(-1))$ ?
edit
mi è sfuggito il - su un 2!! pardon
La prima riga e l'ultima sono linearmente indipendenti, quindi il rango è $2$ e la dimensione del ker è $1$.
piccolo errore di digitazione... 
In questo caso il rango è $1$, e la dimensione del ker è $2$.
"Thingol":
V appartiente a $((1),(1),(-1))$ ?
Non capisco che significa questa domanda...
"Tipper":
[quote="Thingol"]v appartiente a $((1),(1),(-1))$ ?
Non capisco che significa questa domanda...[/quote]
in pratica questo vettore moltiplicato per A da 0?
In pratica il ker dove $ker(A) = (v : Av =0)$ ho scritto bene?
Sì, quindi quel vettore appartiene al ker, o, detto in altro modo, quello è un autovettore relativo all'autovalore $0$.
Quel vettore infatti è una base del ker.
EDIT: quello scritto in grassetto è una c*****a.
Quel vettore infatti è una base del ker.
EDIT: quello scritto in grassetto è una c*****a.
"Tipper":
In questo caso il rango è $1$, e la dimensione del ker è $2$.
Quindi il secondo vettore riga $(0,0,0)$ è lineamente indipendente?
No, il vettore nullo non può essere linearmente indipendente.
"Tipper":
No, il vettore nullo non può essere linearmente indipendente.
ehm non ho capito bene....se il vettore nullo non può essere linearmente indipendente, fin qui tutto bene, i vettori identici o multipli tra loro non sono anche essi linearmente indipendenti?
No, sono linearmente dipendenti.
Ad esempio, i vettori $((1),(2),(3))$ e $((2),(4),(6))$ sono linearmente dipendenti.
Ad esempio, i vettori $((1),(2),(3))$ e $((2),(4),(6))$ sono linearmente dipendenti.
ehm si sorry..manca la lucidità...volevo dire se sono tutti e tre dei vettori riga linearmente dipendenti il rango non dovrebbe essere 3?
Eh no, il rango è tre se i tre vettori sono linearmente indipendenti.
"Thingol":
Mi confermate alcune cose?:)
$A=((2,0,2),(0,0,0),(2,0,2))$
questa matrice ha 3 vettori linearmente dipendenti?
dim(ker(A))= 3?
V appartiente a $((1),(1),(-1))$ ?
edit
quindi queste 3 domande hanno tutte e 3 risposta si giusto?
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