Geometria per sistemi dinamici
Penso che voi siate in grado di confermare o smentire alcune cose che forse non mi sono abbastanza chiare...
Il rango di una matrice è il numero di righe o colonne non nulle?
Il polinomio caratteristico di una matrice ha come soluzioni gli autovalori della matrice stessa? La ricerca degli autovalori è indifferente se fatta tramite il polinomio caratteristico $p(s)=det(sI-A)$o l'equazione da cui ricavo gli autovalori $p(λ)=(A-λI)$?
Il calcolo di $dim(ker(A-λI))$ equivale a $n-rango(A)$dove n è la dimensione della matrice A?
L'equazione $λ^2+4=0$ non ha radici strettamente minori di 0? $-2i$ e $2i$ sono le radici e non i poli?Quale è la corretta dizione?$λ^2+4=0$ ha un polo doppio e radici distinte?
Grazie in anticipo per eventuali risposte:)
Il rango di una matrice è il numero di righe o colonne non nulle?
Il polinomio caratteristico di una matrice ha come soluzioni gli autovalori della matrice stessa? La ricerca degli autovalori è indifferente se fatta tramite il polinomio caratteristico $p(s)=det(sI-A)$o l'equazione da cui ricavo gli autovalori $p(λ)=(A-λI)$?
Il calcolo di $dim(ker(A-λI))$ equivale a $n-rango(A)$dove n è la dimensione della matrice A?
L'equazione $λ^2+4=0$ non ha radici strettamente minori di 0? $-2i$ e $2i$ sono le radici e non i poli?Quale è la corretta dizione?$λ^2+4=0$ ha un polo doppio e radici distinte?
Grazie in anticipo per eventuali risposte:)
Risposte
I tre vettori sono linearmente indipendenti, la dimensione del ker è $2$, quel vettore appartiene al ker, è questo quello che volevi sapere?
"Tipper":
I tre vettori sono linearmente indipendenti, la dimensione del ker è $2$, quel vettore appartiene al ker, è questo quello che volevi sapere?
si:) grazie mille per la pazienza..ci abbiamo messo un po a capirci.
l'unica cosa che non ho capito è perche la dimensione del ker è uguale a 2...
Puoi fare in due modi: data una matrice quadrata $A$, si ha, per il teorema di nullità + rango:
$\dim(\ker(A))= n - \rank(A)$, dove $n$ è l'ordine della matrice.
In questo caso $n=3$, perché la matrice è una $3 \times 3$. Il rango è la dimensione dell'immagine, quindi, per trovare una base dell'immagine, si può ridurre la matrice a scala per colonne, ottenendo:
$((2,0,0),(0,0,0),(2,0,0))$
Quindi il vettore $((2),(0),(2))$ è una base dell'immagine, quindi la dimensione dell'immagine è $1$, quindi il rango è $1$, di conseguenza la dimensione del ker è $2$.
Puoi procedere anche in un altro modo, cioè passando dall'equazione cartesiana del ker; detto $X=((x_1),(x_2),(\vdots),(x_n))$, l'equazione cartesiana del ker risulta:
$AX=O$
dove $A$ è la solita matrice e $O \in \mathbb{R}^3$ è il vettore nullo.
In questo caso $X=((x_1),(x_2),(x_3))$ e l'equazione cartesiana del ker risulta:
$\{(2x_1 + 2x_3=0),(0=0),(2x_1 + 2x_3=0):}$
che è equivalente a $x_1=-x_3$
Ora, ponendo $x_2=\alpha$, $x_3 = \beta$, il generico vettore del ker si scrive come:
$((-\beta),(\alpha),(\beta)) = \alpha ((0),(1),(0)) + \beta ((-1),(0),(1))$ quindi una base del ker è data dai vettori $((0),(1),(0))$ e $((-1),(0),(1))$, quindi la dimensione del ker è $2$.
Chiaro ora?
$\dim(\ker(A))= n - \rank(A)$, dove $n$ è l'ordine della matrice.
In questo caso $n=3$, perché la matrice è una $3 \times 3$. Il rango è la dimensione dell'immagine, quindi, per trovare una base dell'immagine, si può ridurre la matrice a scala per colonne, ottenendo:
$((2,0,0),(0,0,0),(2,0,0))$
Quindi il vettore $((2),(0),(2))$ è una base dell'immagine, quindi la dimensione dell'immagine è $1$, quindi il rango è $1$, di conseguenza la dimensione del ker è $2$.
Puoi procedere anche in un altro modo, cioè passando dall'equazione cartesiana del ker; detto $X=((x_1),(x_2),(\vdots),(x_n))$, l'equazione cartesiana del ker risulta:
$AX=O$
dove $A$ è la solita matrice e $O \in \mathbb{R}^3$ è il vettore nullo.
In questo caso $X=((x_1),(x_2),(x_3))$ e l'equazione cartesiana del ker risulta:
$\{(2x_1 + 2x_3=0),(0=0),(2x_1 + 2x_3=0):}$
che è equivalente a $x_1=-x_3$
Ora, ponendo $x_2=\alpha$, $x_3 = \beta$, il generico vettore del ker si scrive come:
$((-\beta),(\alpha),(\beta)) = \alpha ((0),(1),(0)) + \beta ((-1),(0),(1))$ quindi una base del ker è data dai vettori $((0),(1),(0))$ e $((-1),(0),(1))$, quindi la dimensione del ker è $2$.
Chiaro ora?
Chiarissimo 
Grazie ancora
Grazie ancora
Prego.
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