Geometria nello spazio

[dafweb]

So ke perchè un piano e una retta siano paralleli devono avere:
aA+aB+cC=0 (a,b,c,) parametri direttori retta (A,B,C)Parametri direttori piano.

Ma se ho un ese tipo questo: scrivere piano passante per (1,2,0) e parallelo alla retta r:x=y=z-2
come lo risolvo?

[goblyn]

Puoi scrivere la retta:

x=t
y=t
z=t+2

i parametri direttori della retta sono dunque 1, 1, 1

Quindi, dalla formula che hai esposto tu:

A+B+C=0

Ax + By - (A+B)z = 0

Imponiamo il passaggio per il punto:

A + 2B = 0 cioè A=-2B
riscriviamo il piano:
-2Bx + By + Bz = 0
cioè
-2x + y + z = 0

[dafweb]

Il valore di B alla fine lo scelgo a caso?

[dafweb]

Poi c'è un altro ese dello stesso argomento che nn mi viene: Determinare sul piano x-2y+z=0 che contiene il punto p(1,0,-1) la retta passante per p e ortogonale all'asse x.

[goblyn]

Beh dividi tutto per B, supponendo che sia diverso da 0 naturalmente.
L'altro esercizio:

Scriviamo l'equazione parametrica di una retta passante per un punto (x0,y0,z0):

x=at+x0
y=bt+y0
z=ct+z0

sostituiamo le coordinate di p:

x=at+1
y=bt
z=ct-1

i parametri direttori sono quindi (incogniti) a,b,c.

Per appartenere al piano dato, la retta deve soddisfare l'equazione del piano per ogni t. Sostituiamo:

(at+1)-2(bt)+(ct-1)=0
t(a-2b+c)=0
a=2b-c

La retta è allora:

x=(2b-c)t+1
y=bt
z=ct-1

Ora imponiamo che sia perpendicolare all'asse x. Basta che il prodotto scalare tra il vettore [(2b-c),b,c] con il vettore [1,0,0] sia nullo. (i vettori scritti sono i vettori dei parametri direttori della retta e dell'asse x rispettivamente)

Il prodotto scalare vale 2b-c quindi:

2b-c=0
c=2b

la retta è:

x=1
y=bt
z=2bt-1

cambiando parametro, q=bt:

x=1
y=q
z=2q-1

[markitiello1]

Puoi risolvere anche cosi:

i direttori della retta dovranno essere

{(l,m,n)*(1,-2,1)=0 (per appartenere al piano)
{(l,m,n)* (1,0,1) =0 (per ortogonalità con l'ascissa)

ti dovrebbe venire (0,1,2)
quindi hai un vettore parallelo al piano e ortogonale all'escissa
poi visto che passa per (1,0,-1):

{x=1
{y=t
{z=2-t

Ciao Marko!

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