Geometria iperbolica

[M@rikina81]

Ciao a tutti!

Perchè si può affermare che in geometria iperbolica i rettangoli non esistono?
Ho letto che bisogna sfruttare il fatto che in geometria iperbolica, data una retta ed un punto esterno ad essa, esiste più di una retta parallela a quella data e passante per il punto....però non riesco ad arrivare ad una conclusione.

Potete aiutarmi?

[Quinzio]

Le parallele esistono solo nella geometria euclidea, no ?
Inoltre, come definisci un rettangolo ? Una figura con 4 angoli retti (rett-angolo ) ?

[M@rikina81]

In realtà non è vero che non esistono rette parallele, come dicevo prima si ipotizza che per un punto ed una retta data ne esistano almeno due...così come ci sono angoli retti, basti pensare al quadrilatero di Saccheri...

[vict85]

"Quinzio":Le parallele esistono solo nella geometria euclidea, no ?
Inoltre, come definisci un rettangolo ? Una figura con 4 angoli retti (rett-angolo ) ?

Un rettangolo è un quadrilatero con 4 angoli retti. L'esistenza dei rettangoli è equivalente al fatto che il difetto dei triangoli rettangoli è 0.

EDIT: Ho corretto un piccolo errore di disattenzione

[Zilpha]

"M@rikina81":bisogna sfruttare il fatto che in geometria iperbolica, data una retta ed un punto esterno ad essa, esiste più di una retta parallela a quella data e passante per il punto....

questo è il teorema universale della geometria iperbolica (la tesi è che le parallele siano almeno 2 e da ciò segue come corollario che ne esistono infinite)...

Comunque l'esistenza dei rettangoli è invocata dall'assioma di Clairaut che si dimostra essere equivalente al postulato delle parallele. Per tale motivo in geometria iperbolica, non valendo tale postulato, non esistono rettangoli.
Questa dimostrazione la trovi al capitolo 5 del libro di Marvin Jay Greenberg dal titolo Euclidean and Non-euclidean Geometry. Se stai studiando queste cose ti sarà utile procurarti questo libro. Se non lo trovi contattami privatamente..

[M@rikina81]

Grazie ragazzi!

Zilpha sono riuscita a procurarmi il libro...grazie del suggerimento!