Geometria - intersezione di piani
Salve ragazzi ho un problema con un esercizio:
Fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale nello spazio, si considerino i piani a: x+y+z=1, b:x-y-2z=0 e c=hx+y+hz=2
delterminare la retta passante per l'origine e parallela sia ad a che a b.
io avrei pensato a questo: se mi devo trovare l'equazione della retta mi serve un vettore direttore e un punto per cui passa la retta.
Il punto ce l'ho ed è (0,0,0) e il vettore direttore e quel generico vettore ortogonale al vettore direttore di a: (1,1,1).
Quindi il generico vettore sarà (l,m,n)*(1,1,1)=0 quindi per esempio (1,1,-2).
L'equazione della retta passante per (0,0,0) con il vettore direzione (1,1,-2) è uguale al sistema delle equazioni:
x-y=0
z+2y=0
poi da qui vorrei imporre il parallelismo ma non so come!!!
Un altro metodo che mi è venuto in mente è quello di fare il fascio di piani passante per o imporre il parallelismo ad a poi il parallelismo a b e fare l'intersezione!
Sono regionamenti giusti o sbagliati!!
Grazie per l'aiuto e scusate il disturbo ma sabato ho la prova di fine corso e queste cose le ha spiegate solo due giorni fa'!!
think different
Fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale nello spazio, si considerino i piani a: x+y+z=1, b:x-y-2z=0 e c=hx+y+hz=2
delterminare la retta passante per l'origine e parallela sia ad a che a b.
io avrei pensato a questo: se mi devo trovare l'equazione della retta mi serve un vettore direttore e un punto per cui passa la retta.
Il punto ce l'ho ed è (0,0,0) e il vettore direttore e quel generico vettore ortogonale al vettore direttore di a: (1,1,1).
Quindi il generico vettore sarà (l,m,n)*(1,1,1)=0 quindi per esempio (1,1,-2).
L'equazione della retta passante per (0,0,0) con il vettore direzione (1,1,-2) è uguale al sistema delle equazioni:
x-y=0
z+2y=0
poi da qui vorrei imporre il parallelismo ma non so come!!!
Un altro metodo che mi è venuto in mente è quello di fare il fascio di piani passante per o imporre il parallelismo ad a poi il parallelismo a b e fare l'intersezione!
Sono regionamenti giusti o sbagliati!!
Grazie per l'aiuto e scusate il disturbo ma sabato ho la prova di fine corso e queste cose le ha spiegate solo due giorni fa'!!
think different
Risposte
Il problema puo' essere risolto in modo piu'
lineare cosi':
Sia (l,m,n) il vettore direttore della retta;
imponendo il parallelismo con i piani a e b si ha
il sistema:
[l+m+n=0,l-m-2n=0]
Questo e' un sistema omogeneo di 2 equazioni e
3 incognite le cui soluzioni ,com'e' noto, sono
proporzionali ai minori (con segno ) ricavati dalla
matrice dei coefficienti
1...1....1
1..-1...-2
cancellando una colonna alla volta.
Dunque:
l:m:n=-1:3:-2 .Scegliendo la soluzione l=-1,m=3,n=-2
risulta(tenuto conto che la retta deve passare per O):
(x-0)/(-1)=(y-0)/3=(z-0)/(-2) e quindi la retta richiesta
e':
x=-y/3=z/2
E' da notare che,poiche' l'origine O appartiene al piano b,
la nostra retta giace interamente in detto piano.
Una domanda:ma il piano c che c'entra?
karl.
lineare cosi':
Sia (l,m,n) il vettore direttore della retta;
imponendo il parallelismo con i piani a e b si ha
il sistema:
[l+m+n=0,l-m-2n=0]
Questo e' un sistema omogeneo di 2 equazioni e
3 incognite le cui soluzioni ,com'e' noto, sono
proporzionali ai minori (con segno ) ricavati dalla
matrice dei coefficienti
1...1....1
1..-1...-2
cancellando una colonna alla volta.
Dunque:
l:m:n=-1:3:-2 .Scegliendo la soluzione l=-1,m=3,n=-2
risulta(tenuto conto che la retta deve passare per O):
(x-0)/(-1)=(y-0)/3=(z-0)/(-2) e quindi la retta richiesta
e':
x=-y/3=z/2
E' da notare che,poiche' l'origine O appartiene al piano b,
la nostra retta giace interamente in detto piano.
Una domanda:ma il piano c che c'entra?
karl.
Grazie per la risposta, no il piano c non c'entra nulla era solo che il quesito che ti ho posto faceva parte di un esercizio a più quesiti!!
Grazie ancora.
Marko!
think different
Grazie ancora.
Marko!
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