Geometria euclidea - approssimazioni
Ciao a tutti...
Allora, il problema è: trovare l'equazione esplicita della retta (y = ax + b) che meglio approssima i punti (0, 0),
(1, 1), (2, 1).
Sinceramente, non so che pesci pigliare.
Allora, il problema è: trovare l'equazione esplicita della retta (y = ax + b) che meglio approssima i punti (0, 0),
(1, 1), (2, 1).
Sinceramente, non so che pesci pigliare.
Risposte
quando si parla di approssimazioni, non è mai ovvio il procedimento, va precisato "in che senso" è "la migliore approssimazione".
la cosa mi evoca un termine particolare, ma è meglio che non ci si limiti a dire un termine ma che si spieghi che cosa si deve ottenere:
in pratica ti sto dicendo che chi ti vuole aiutare non può, se non dici qualcosa di più.
inoltre non ti cito quella "dicitura", perché, se anche fosse quello che mi posso immaginare, è più utile a te se traduci in parole povere che cosa devi fare.
ricontrolla l'esercizio e la teoria, prova e facci sapere. ciao.
la cosa mi evoca un termine particolare, ma è meglio che non ci si limiti a dire un termine ma che si spieghi che cosa si deve ottenere:
in pratica ti sto dicendo che chi ti vuole aiutare non può, se non dici qualcosa di più.
inoltre non ti cito quella "dicitura", perché, se anche fosse quello che mi posso immaginare, è più utile a te se traduci in parole povere che cosa devi fare.
ricontrolla l'esercizio e la teoria, prova e facci sapere. ciao.
allora, l'idea credo sia questa.
Abbiamo uno spazio euclideo V. Considerato un suo sottospazio W e un vettore v di V, il vettore di W che meglio approssima v sarebbe la proiezione ortogonale di v su W. Ho capito male?
Nelle mie dispense c'è solo un esempio di approssimazione tramite questa tecnica: si chiede di trovare la progressione aritmetica i cui primi tre termini meglio approssimano una determinata terna di numeri: in pratica si considera il sottospazio vettoriale di R3 generato da (1,1,1) e (1,2,3) che sarebbe il sottospazio dei primi 3 termini di una progressione aritmetica, e si calcola la proiezione ortogonale della terna data (considerata come vettore di R3) : la proiezione ortogonale è la terna in progressione aritmetica che meglio approssima quella data.
Sinceramente, per quanto riguarda l'esercizio che ho proposto, non so proprio da dove cominciare.
Abbiamo uno spazio euclideo V. Considerato un suo sottospazio W e un vettore v di V, il vettore di W che meglio approssima v sarebbe la proiezione ortogonale di v su W. Ho capito male?
Nelle mie dispense c'è solo un esempio di approssimazione tramite questa tecnica: si chiede di trovare la progressione aritmetica i cui primi tre termini meglio approssimano una determinata terna di numeri: in pratica si considera il sottospazio vettoriale di R3 generato da (1,1,1) e (1,2,3) che sarebbe il sottospazio dei primi 3 termini di una progressione aritmetica, e si calcola la proiezione ortogonale della terna data (considerata come vettore di R3) : la proiezione ortogonale è la terna in progressione aritmetica che meglio approssima quella data.
Sinceramente, per quanto riguarda l'esercizio che ho proposto, non so proprio da dove cominciare.
Il metodo che si usa in altri campi è la retta di regressione ma da quello che scrivi non è questo il caso... D'altra parte non capisco esattamente come hai trovato quei numeri che usi... E non comprendo neanche in che modo tu trovi la terza terna per poterne fare la proiezione ortogonale.
Riguardo alla questione teorica la tua frase è corretta ma non vedo come ti possa essere di aiuto in questo caso.
Forse è meglio che posti il testo dell'esempio e il procedimento passo passo. Oppure almeno un riferimento bibliografico.
Riguardo alla questione teorica la tua frase è corretta ma non vedo come ti possa essere di aiuto in questo caso.
Forse è meglio che posti il testo dell'esempio e il procedimento passo passo. Oppure almeno un riferimento bibliografico.
allora temo che il campo di applicazione che sia io sia vict85 intendevamo è tutt'altro ... a dire il vero io pensavo che avessi sbagliato sezione ...
nella definizione che riporti, tu parli di sottospazi e di vettori, ma la retta che citi nel primo messaggio è ciò che io chiamavo varietà lineare, ed inoltre hai tre punti non allineati, di cui però uno è l'origine...
immagino che V sia il piano xy, W è una generica retta per l'origine (da trovare o data?), e il vettore?
nella definizione che riporti, tu parli di sottospazi e di vettori, ma la retta che citi nel primo messaggio è ciò che io chiamavo varietà lineare, ed inoltre hai tre punti non allineati, di cui però uno è l'origine...
immagino che V sia il piano xy, W è una generica retta per l'origine (da trovare o data?), e il vettore?
spiego meglio....
il problema dell'esempio è: trovare la progressione aritmetica i cui primi 3 termini meglio approssimano la terna (3,4,6).
I termini di progressioni aritmetiche sono del tipo [tex]a+nr[/tex]. Dunque i primi tre termini di una generica progressione aritmetica sono [tex](a+r,a+2r,a+3r)=a(1,1,1)+r(1,2,3)[/tex]. L'insieme delle possibili terne i cui elementi sono i primi tre termini di una progressione aritmetica è quindi la chiusura lineare dei due vettori di [tex]\mathbb{R}^3[/tex]:[tex]W=L[(1,1,1),(1,2,3)][/tex], che è un sottospazio vettoriale dello spazio euclideo [tex]\mathbb{R}^3[/tex] munito del prodotto scalare standard. Allora, fra i vettori di [tex]W[/tex], quello che meglio approssima [tex]v=(3,4,6)[/tex] è la sua proiezione ortogonale su [tex]W[/tex]: inoltre [tex]v_w[/tex] è l'unico vettore tale che [tex]= \forall w \in W[/tex], per cui il vettore cercato soddisfa il sistema [tex]\left\{\begin{matrix} =\\=\end{matrix}\right[/tex].
Ora, questo è l'unico esempio di approssimazione che c'è nelle mie dispense (che sono scritte dal mio professore), quindi presumo che dovrei trarre spunto da questo, solo che proprio non trovo le affinità tra i due esercizi
il problema dell'esempio è: trovare la progressione aritmetica i cui primi 3 termini meglio approssimano la terna (3,4,6).
I termini di progressioni aritmetiche sono del tipo [tex]a+nr[/tex]. Dunque i primi tre termini di una generica progressione aritmetica sono [tex](a+r,a+2r,a+3r)=a(1,1,1)+r(1,2,3)[/tex]. L'insieme delle possibili terne i cui elementi sono i primi tre termini di una progressione aritmetica è quindi la chiusura lineare dei due vettori di [tex]\mathbb{R}^3[/tex]:[tex]W=L[(1,1,1),(1,2,3)][/tex], che è un sottospazio vettoriale dello spazio euclideo [tex]\mathbb{R}^3[/tex] munito del prodotto scalare standard. Allora, fra i vettori di [tex]W[/tex], quello che meglio approssima [tex]v=(3,4,6)[/tex] è la sua proiezione ortogonale su [tex]W[/tex]: inoltre [tex]v_w[/tex] è l'unico vettore tale che [tex]
Ora, questo è l'unico esempio di approssimazione che c'è nelle mie dispense (che sono scritte dal mio professore), quindi presumo che dovrei trarre spunto da questo, solo che proprio non trovo le affinità tra i due esercizi
"bestiedda2":
Nelle mie dispense c'è solo un esempio di approssimazione tramite questa tecnica: si chiede di trovare la progressione aritmetica i cui primi tre termini meglio approssimano una determinata terna di numeri: in pratica si considera il sottospazio vettoriale di R3 generato da (1,1,1) e (1,2,3) che sarebbe il sottospazio dei primi 3 termini di una progressione aritmetica, e si calcola la proiezione ortogonale della terna data (considerata come vettore di R3) : la proiezione ortogonale è la terna in progressione aritmetica che meglio approssima quella data.
Questa parte mi sembra chiara.
Il vettore $(1,2,3)$ serve a dare il passo della progressione aritmetica, mentre $(1,1,1)$ serve a dare il termine iniziale.
Infatti i primi tre termini di una progressione aritmetica di elemento iniziale $a_0$ e passo $q$ sono descritti nel vettore $w=a_0(1,1,1)+q(1,2,3)=(a_0+q, a_0+2q, a_0+3q)$.
Cercando la proiezione ortogonale di un vettore $v=(x,y,z)$ (dato in input) sullo spazio $W$ generato da $(1,1,1), (1,2,3)$ si cerca il vettore $w\in W$ che minimizza la distanza euclidea da $v$, ovvero si trovano $a_0,q$ tali che $w=(a_0+q, a_0+2q, a_0+3q)$ disti (appunto nel senso della distanza euclidea) da $(x,y,z)$.
Quindi è chiaro di che tipo di distanza si tratta.
Nel caso dell'esercizio che hai proposto, invece, non è chiaro che tipo di distanza dobbiamo considerare fra la retta e i punti.
Sapendo di che tipo di distanza si tratta, forse (ma ci devo pensare) possiamo costruire un discorso simile a quello precedente.
Edit: Scusa per la sovrapposizione. Non avevo visto che avevi già specificato meglio.
a me è venuta un'idea.....
per x=0 y=b
per x=1 y=a+b
per x=2 y=2a+b
sono in progressione aritmetica
e se volessimo trovare la progressione aritmetica che meglio approssima la terna (0,2,2) ovvero la terna delle ordinate dei 3 punti (le cui ascisse guarda caso sono in progressione aritmetica)? La terna trovata è formata da 3 numeri in prog aritmetica (a1,a2,a3). Allora facciamo passare la retta per i punti (1,a1),(2,a2),(3,a3) che chiaramente sono allineati
Ha senso?
per x=0 y=b
per x=1 y=a+b
per x=2 y=2a+b
sono in progressione aritmetica
e se volessimo trovare la progressione aritmetica che meglio approssima la terna (0,2,2) ovvero la terna delle ordinate dei 3 punti (le cui ascisse guarda caso sono in progressione aritmetica)? La terna trovata è formata da 3 numeri in prog aritmetica (a1,a2,a3). Allora facciamo passare la retta per i punti (1,a1),(2,a2),(3,a3) che chiaramente sono allineati
Ha senso?
il fatto è che cirasa, cioè quello che forse ci ha capito di più, parlava di distanza euclidea.
con la tua impostazione mi sembrerebbe più semplice considerare minima la somma dei valori assoluti delle differenze delle ordinate.
mi spiego.
i punti allineati $(0;k),(1;k+d),(2;k+2d)$ sono su una retta con coefficiente angolare $d$ e quota $k$.
dunque nell'equazione che hai nel testo ($y=ax+b$) puoi considerare $a=d$ e $b=k$
e deve essere minima la somma seguente: $|k|+|k+d-1|+|k+2d-1|$, cioè $|b|+|a+b-1|+|2a+b-1|$
spero ti possa essere utile. non ho idea di quale metodo usare per continuare, a parte lo studio di funzioni che credo non sia quanto tu debba fare.
con la tua impostazione mi sembrerebbe più semplice considerare minima la somma dei valori assoluti delle differenze delle ordinate.
mi spiego.
i punti allineati $(0;k),(1;k+d),(2;k+2d)$ sono su una retta con coefficiente angolare $d$ e quota $k$.
dunque nell'equazione che hai nel testo ($y=ax+b$) puoi considerare $a=d$ e $b=k$
e deve essere minima la somma seguente: $|k|+|k+d-1|+|k+2d-1|$, cioè $|b|+|a+b-1|+|2a+b-1|$
spero ti possa essere utile. non ho idea di quale metodo usare per continuare, a parte lo studio di funzioni che credo non sia quanto tu debba fare.
Secondo me il problema è mal posto ma di fatto ti chiede di trovare trovare la progressione aritmetica che approssima meglio [tex](0,1,1)[/tex] inteso nel senso di distanza euclidea. Cioè in pratica che minimizza la somma [tex](0 - a)^2 + (1 - a - b)^2 + (1 - a - 2b)^2[/tex]. Quello che ti è stato presentato è un metodo geometrico per farlo mentre generalmente si usano metodi analitici anche perché aumentano i punti che vengono considerati e si pone meno fisso l'intervallo dei punti sulla x.
"vict85":
Secondo me il problema è mal posto ma di fatto ti chiede di trovare trovare la progressione aritmetica che approssima meglio [tex](0,1,1)[/tex] inteso nel senso di distanza euclidea. Cioè in pratica che minimizza la somma [tex](0 - a)^2 + (1 - a - b)^2 + (1 - a - 2b)^2[/tex]. Quello che ti è stato presentato è un metodo geometrico per farlo mentre generalmente si usano metodi analitici anche perché aumentano i punti che vengono considerati e si pone meno fisso l'intervallo dei punti sulla x.
si era quello che volevo dire nel mio ultimo post, non so perchè ho scritto (0,2,2)
Vabbè, allora rilancio:
Trovare la parabola y = ax2+bx+c che meglio approssima i punti (−2, 0), (−1, 0),(0, 1),(1, 1)
e (2, 2).
"adaBTTLS":
il fatto è che cirasa, cioè quello che forse ci ha capito di più, parlava di distanza euclidea.
con la tua impostazione mi sembrerebbe più semplice considerare minima la somma dei valori assoluti delle differenze delle ordinate.
mi spiego.
i punti allineati $(0;k),(1;k+d),(2;k+2d)$ sono su una retta con coefficiente angolare $d$ e quota $k$.
dunque nell'equazione che hai nel testo ($y=ax+b$) puoi considerare $a=d$ e $b=k$
e deve essere minima la somma seguente: $|k|+|k+d-1|+|k+2d-1|$, cioè $|b|+|a+b-1|+|2a+b-1|$
spero ti possa essere utile. non ho idea di quale metodo usare per continuare, a parte lo studio di funzioni che credo non sia quanto tu debba fare.
"vict85":non è la stessa cosa? mi sbaglio io o stiamo sempre minimizzando una somma di termini positivi che riguardano le distanze tra le ordinate e non le distanze euclidee tra i punti?
Secondo me il problema è mal posto ma di fatto ti chiede di trovare trovare la progressione aritmetica che approssima meglio [tex](0,1,1)[/tex] inteso nel senso di distanza euclidea. Cioè in pratica che minimizza la somma [tex](0 - a)^2 + (1 - a - b)^2 + (1 - a - 2b)^2[/tex]. Quello che ti è stato presentato è un metodo geometrico per farlo mentre generalmente si usano metodi analitici anche perché aumentano i punti che vengono considerati e si pone meno fisso l'intervallo dei punti sulla x.
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