[Geometria] Esercizio
Come risolvereste questo esercizio?
Siano u, v e w tre vettori tali che ||u||=2, ||v||=3, ||w||=1, u ortogonale a v e u ortogonale a w. Sia inoltre l'angolo fra v e w = $pi/3$ .
Calcolare la proiezione ortogonale di 3u+2v+w su w.
Siano u, v e w tre vettori tali che ||u||=2, ||v||=3, ||w||=1, u ortogonale a v e u ortogonale a w. Sia inoltre l'angolo fra v e w = $pi/3$ .
Calcolare la proiezione ortogonale di 3u+2v+w su w.
Risposte
mi pare un tantino banale!! no?
allora u è ortogonale e w, quindi dà proiezione nulla...dopo di che w dà contributo pari al suo modulo =1, e per trovare la proiezione di v su w, basta fare il prodotto scalare e dividere per il modulo di w:
$<2v,w>/|w|=6*cos(pi/3)=3$
morale della favola, il risultato è $3+1=4$.
chiaro no?
il vecchio
allora u è ortogonale e w, quindi dà proiezione nulla...dopo di che w dà contributo pari al suo modulo =1, e per trovare la proiezione di v su w, basta fare il prodotto scalare e dividere per il modulo di w:
$<2v,w>/|w|=6*cos(pi/3)=3$
morale della favola, il risultato è $3+1=4$.
chiaro no?
il vecchio
Sicuramente è banale, il fatto è che non l'ho mai fatta geometria e, anche le banalità mi mettono in difficoltà. Grazie della spiegazione!
peccato..perchè a me è piaciuta molto!!
ciao ciao
il vecchio
ciao ciao
il vecchio
Mi sono rimesso a guardare gli esercizzi e, sono tornato anche su queto che ho risolto un pò diversamente. Per puro caso torna uguale ma è leggermente diverso, volevo sapere dove sbagliavo:
Allora la proiezione di u su w è zero (ok)
La proiezione di w su se stesso è la sua norma.
Mentre la proiezione di v su w è ||v|| * ||w|| * cos ($pi/3$)
La somma di questi mi da la proiezione su w. Perché tu invece hai anche diviso per il modulo di w? Non riesco a capire il ragionamento!
Grazie!
Allora la proiezione di u su w è zero (ok)
La proiezione di w su se stesso è la sua norma.
Mentre la proiezione di v su w è ||v|| * ||w|| * cos ($pi/3$)
La somma di questi mi da la proiezione su w. Perché tu invece hai anche diviso per il modulo di w? Non riesco a capire il ragionamento!
Grazie!
Se $vec(x),vec(y)$ sono due generici vettori, allora
seconda l'ordinaria definizione di prodotto scalare (che indico col carattere "°" ) si ha:
1)$vec(x)°vec(y)=||vec(x)||*||vec(y)||*cosalpha$ (dove con $alpha$ ho indicato l'angolo tra i due vettori)
2)$vec(x)°vec(y)=vec(x)_(vec(y))*||vec(y)||$ (dove con $vec(x)_(vec(y))$ ho indicato la proiezione di $vec(x)$ su $vec(y))$
Nel nostro caso ,per la definizione (1),e' :
$(3vec(u)+2vec(v)+vec(w))°vec(w)=3vec(u)°vec(w)+2vec(v)°vec(w)+vec(w)°vec(w)=0+2*3*1*cos((pi)/3)+1*1=4$
Per la definizione (2) e':
$(3vec(u)+2vec(v)+vec(w))°vec(w)=[3vec(u)+2vec(v)+vec(w)]_(vec(w))°||vec(w)||$
Da cui:
$[3vec(u)+2vec(v)+vec(w)]_(vec(w))=((3vec(u)+2vec(v)+vec(w))°vec(w))/(||vec(w)||)=4/1=4
karl
seconda l'ordinaria definizione di prodotto scalare (che indico col carattere "°" ) si ha:
1)$vec(x)°vec(y)=||vec(x)||*||vec(y)||*cosalpha$ (dove con $alpha$ ho indicato l'angolo tra i due vettori)
2)$vec(x)°vec(y)=vec(x)_(vec(y))*||vec(y)||$ (dove con $vec(x)_(vec(y))$ ho indicato la proiezione di $vec(x)$ su $vec(y))$
Nel nostro caso ,per la definizione (1),e' :
$(3vec(u)+2vec(v)+vec(w))°vec(w)=3vec(u)°vec(w)+2vec(v)°vec(w)+vec(w)°vec(w)=0+2*3*1*cos((pi)/3)+1*1=4$
Per la definizione (2) e':
$(3vec(u)+2vec(v)+vec(w))°vec(w)=[3vec(u)+2vec(v)+vec(w)]_(vec(w))°||vec(w)||$
Da cui:
$[3vec(u)+2vec(v)+vec(w)]_(vec(w))=((3vec(u)+2vec(v)+vec(w))°vec(w))/(||vec(w)||)=4/1=4
karl
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