Geometria differenziale: trasporto parallelo e curvatura
Buongiorno a tutti, sto preparando l'esame di Istituzioni di Geometria Superiore e come argomento a scelta pensavo di portare il trasporto parallelo, in particolare la connessione che ha con la curvatura della superficie su cui viene definito.
In generale infatti se scelgo due curve differenti ma con stessi estremi, il trasporto parallelo di uno stesso vettore lungo le due curve darà luogo a due vettori differenti. Soltanto nel caso in cui la curvatura della superficie è zero otterrò che il trasporto parallelo non dipende dalla curva scelta.
Su wikipedia, ad esempio, si trova che l'angolo fra i due vettori trasportati dipende dall'area racchiusa dalle due curve e dalla curvatura della superficie. Su wikipedia italiana si trova addirittura una formula per il calcolo di tale variazione d'angolo... ma mancano riferimenti e bibliografia.
Sapete dirmi dove posso trovare la dimostrazione di questo fatto?
Vi ringrazio!
In generale infatti se scelgo due curve differenti ma con stessi estremi, il trasporto parallelo di uno stesso vettore lungo le due curve darà luogo a due vettori differenti. Soltanto nel caso in cui la curvatura della superficie è zero otterrò che il trasporto parallelo non dipende dalla curva scelta.
Su wikipedia, ad esempio, si trova che l'angolo fra i due vettori trasportati dipende dall'area racchiusa dalle due curve e dalla curvatura della superficie. Su wikipedia italiana si trova addirittura una formula per il calcolo di tale variazione d'angolo... ma mancano riferimenti e bibliografia.
Sapete dirmi dove posso trovare la dimostrazione di questo fatto?
Vi ringrazio!
Risposte
Su quello inglese c'è fatto riferimento al Kobayashi. Comunque sull'Abate Tovena (geometria differenziale) penso ci sia qualcosa. Ma non tantissimo. Ovviamente do per scontato che il tuo corso di Istituzioni di Geometria Superiore comprenda geometria differenziale e Riemanniana sufficiente a capire l'argomento (che non è proprio poca). Immagino che questo libro di Cartan http://www.amazon.com/Riemannian-Geomet ... 9810247478 possa avere qualcosa.
Mi sono letto più o meno tutto l'Abate-Tovena, ma non ho trovato nessun riferimento a questo problema, anche perché lì prima si ricavano la derivata covariante e solo dopo mostrano che è equivalente all'aver definito il trasporto parallelo... ma non svelano le problematiche nate dal trasporto parallelo.
Cercherò sul Kobayashi. Per quanto riguarda Cartan, facendo un po' di ricerche ho visto che lui ha affrontato il problema con un metodo diverso da quello della derivata covariante, usando il riferimento mobile (non so se in italiano è stato tradotto così il suo "referé mobile" o "frame reference" che sia)... solo che mi sembra un po' troppo spinto per quanto ho fatto.
Altrimenti, c'è qualcosa in più sul trasporto parallelo che sia sufficientemente digeribile? A me piaceva molto questo fatto della curvatura che entrava di mezzo...
Cercherò sul Kobayashi. Per quanto riguarda Cartan, facendo un po' di ricerche ho visto che lui ha affrontato il problema con un metodo diverso da quello della derivata covariante, usando il riferimento mobile (non so se in italiano è stato tradotto così il suo "referé mobile" o "frame reference" che sia)... solo che mi sembra un po' troppo spinto per quanto ho fatto.
Altrimenti, c'è qualcosa in più sul trasporto parallelo che sia sufficientemente digeribile? A me piaceva molto questo fatto della curvatura che entrava di mezzo...
In inglese viene chiamato moving frame. In Italiano penso possa essere riferimento mobile, non so. Non conosco bene l'argomento, non saprei darti riferimenti più accurati.
Ciao! ti ringrazio in ogni caso.
Ho trovato qualcosa sul Schutz "A First Course in General Relativity". Libro che ho trovato interessantissimo su molti aspetti, scritto per i fisici ma dà un'idea molto chiara di come la geometria differenziale venga usata nella relatività (speciale e non). Molti cenni vengono fatti su connessioni e trasporto parallelo e l'idea che ne viene fatta in fisica... tipo le geodetiche viste come traiettorie di particelle che si muovono senza l'azione di forze.
Grazie comunque!
Ho trovato qualcosa sul Schutz "A First Course in General Relativity". Libro che ho trovato interessantissimo su molti aspetti, scritto per i fisici ma dà un'idea molto chiara di come la geometria differenziale venga usata nella relatività (speciale e non). Molti cenni vengono fatti su connessioni e trasporto parallelo e l'idea che ne viene fatta in fisica... tipo le geodetiche viste come traiettorie di particelle che si muovono senza l'azione di forze.
Grazie comunque!
Finalmente ho letto tutto il thread!
Un buon riferimento in queste cose è Michael Spivak - A comprehensive introduction to differential geometry - Volume II, capitoli 1-7; il capitolo 8 parla delle connessioni sui fibrati principali...
Il volume III parla solo di geometria differenziale, in particolare riemanniana, delle superfici.
Un buon riferimento in queste cose è Michael Spivak - A comprehensive introduction to differential geometry - Volume II, capitoli 1-7; il capitolo 8 parla delle connessioni sui fibrati principali...
Il volume III parla solo di geometria differenziale, in particolare riemanniana, delle superfici.
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