Geometria affine...(urgente es 2!)
Ecco gli esercizi che oggi mi sono rimasti sullo stomaco..più un dubbio pressoché esistenziale:
Esercizio 1
in$A_3(RR)$ con sistema di riferimento canonico sono assegnate le due rette
$r...{(x-y=0), (z=0):}$ e $s...{(x=0), (z-2=0):} $ ed il piano $pi...x-z=0$
Determinare e studiare il luogo dei punti P di $pi$ tali che $rho(P,r)$ e $sigma(P,s)$ intersechino $pi$ in rette ortogonali.
Il mio procedimento: ho studiato la reciproca posizione delle rette: sono sghembe.
Ho scritto il generico piano per r e il generico piano per s. A questo punto pensavo di scrivere le rette che ottengointersecando i due piani generici con $pi$ e imporre loro la condizione di ortogonalita. Problema..i conti si complicano e ho troppi parametri rispetto alle condizioni che impongo, quindi non ne esco...dove sta lo sbaglio?
Esercizio 2
In $A_3(RR)$ con sistema di riferimento canonico sono assegnate due rette, r ed s. Dire se esistono sempre (indipendentemente da r e da s e dalla posizione reciproca) affinità di $A_3(RR)$ che mutano r in s e descrivere tali affinità.
Beh..un'affinità di questo tipo esiste sempre...che c'è da dire in più? cos'ha di speciale?
Dubbio pressoché esistenziale:
Quali sono tutti i possibili modi per dire se una forma quadratica è definita positiva?
1) trovo una base ortonormale per la forma bilineare associata e guardo la matrice diagonale
2)guardo se la matrice simmetrica associata (rispetto a una qualunque base) ha tutti gli autovalori positivi
e poi?
L'esercizio che ha fatto scattare questo dava un'applicazione (x,y,z)*(x',y',z')=2xx'+axy'+bx'y+cyy'+3zz'
e chiedevadi definire dei parametri reali tali che fosse un prodotto scalare...
Quindi prima di tutto ho imposto a=b perché dev'essere una forma bilineare simmetrica. poi in qualche modo devo imporre che sia definita positiva..che mi consigliate?
E per oggi da qua è tutto...vi ringrazio già per il vostro aiuto
Esercizio 1
in$A_3(RR)$ con sistema di riferimento canonico sono assegnate le due rette
$r...{(x-y=0), (z=0):}$ e $s...{(x=0), (z-2=0):} $ ed il piano $pi...x-z=0$
Determinare e studiare il luogo dei punti P di $pi$ tali che $rho(P,r)$ e $sigma(P,s)$ intersechino $pi$ in rette ortogonali.
Il mio procedimento: ho studiato la reciproca posizione delle rette: sono sghembe.
Ho scritto il generico piano per r e il generico piano per s. A questo punto pensavo di scrivere le rette che ottengointersecando i due piani generici con $pi$ e imporre loro la condizione di ortogonalita. Problema..i conti si complicano e ho troppi parametri rispetto alle condizioni che impongo, quindi non ne esco...dove sta lo sbaglio?
Esercizio 2
In $A_3(RR)$ con sistema di riferimento canonico sono assegnate due rette, r ed s. Dire se esistono sempre (indipendentemente da r e da s e dalla posizione reciproca) affinità di $A_3(RR)$ che mutano r in s e descrivere tali affinità.
Beh..un'affinità di questo tipo esiste sempre...che c'è da dire in più? cos'ha di speciale?
Dubbio pressoché esistenziale:
Quali sono tutti i possibili modi per dire se una forma quadratica è definita positiva?
1) trovo una base ortonormale per la forma bilineare associata e guardo la matrice diagonale
2)guardo se la matrice simmetrica associata (rispetto a una qualunque base) ha tutti gli autovalori positivi
e poi?
L'esercizio che ha fatto scattare questo dava un'applicazione (x,y,z)*(x',y',z')=2xx'+axy'+bx'y+cyy'+3zz'
e chiedevadi definire dei parametri reali tali che fosse un prodotto scalare...
Quindi prima di tutto ho imposto a=b perché dev'essere una forma bilineare simmetrica. poi in qualche modo devo imporre che sia definita positiva..che mi consigliate?
E per oggi da qua è tutto...vi ringrazio già per il vostro aiuto
Risposte
una forma bilineare simmetrica:
è definita positiva => gli elementi sulla diagonale della matrice sono positivi
dimostrazione (facile): gli elementi sulla diagonale sono $B(e_i,e_i)$ dove $B$ è la forma, poichè $e_i!=0$ e $B$ è definita positiva..
nota: non vale viceversa in generale; può essere comodo per dimostrare che una forma bilineare simmetrica NON è definita positiva
IN UNA BASE DIAGONALIZZANTE vale il viceversa
dimostrazione (stupida) la ometto
in una base qualunque:
una forma quadratica è defnita positiva <=> tutti i minori nord-ovest sono positivi
cioè mi spiego: sia $A=(a_(ij))_(1<=i,j<=n)$ la matrice associata a $Q:V->RR$
($V$ è lo spazio vettoriale reale e $dimV=n$ - la mia notazione è un po' strana..)
Q è definita positiva <=> $forall i in {1,..,n} det((a_(11), ... ,a_(1i));(... , ... , ...);(a_(i1), ... ,a_(ii)))>0$
è definita positiva => gli elementi sulla diagonale della matrice sono positivi
dimostrazione (facile): gli elementi sulla diagonale sono $B(e_i,e_i)$ dove $B$ è la forma, poichè $e_i!=0$ e $B$ è definita positiva..
nota: non vale viceversa in generale; può essere comodo per dimostrare che una forma bilineare simmetrica NON è definita positiva
IN UNA BASE DIAGONALIZZANTE vale il viceversa
dimostrazione (stupida) la ometto
in una base qualunque:
una forma quadratica è defnita positiva <=> tutti i minori nord-ovest sono positivi
cioè mi spiego: sia $A=(a_(ij))_(1<=i,j<=n)$ la matrice associata a $Q:V->RR$
($V$ è lo spazio vettoriale reale e $dimV=n$ - la mia notazione è un po' strana..)
Q è definita positiva <=> $forall i in {1,..,n} det((a_(11), ... ,a_(1i));(... , ... , ...);(a_(i1), ... ,a_(ii)))>0$
vabbè non sono riuscito a scriverlo 
comunque è una matrice si capisce
comunque è una matrice si capisce
I minori "nord ovest" sono i minori punto e stop? scusa, non avevo mai sentito dire così ...il resto è chiaro!
Provo a farti un'altra domanda a proposito: si può anche fare, che tu sappai, dimostrando che ogni termine della forma quadratica, rispetto a una base qualunque sia positivo? nel senso, usando l'applicazione descritta prima:
(x,y,z)*(x',y',z')=2xx'+axy'+bx'y+cyy'+3zz'
$((2, a, 0), (b, c,0),(0, 0, 3))$
per essere prod scalare dev'essere bilin simmetrica (a=b) e def positiva:
scrivo la forma quadratica: $q(v)=2x^2+abxy+cy^2+3z^2= x^2+(x^2+abxy+c/2y^2)+c/2y^2+3z^2=
$=x^2+(x+sqrt(c/2)y)^2+c/y^2+3z^2=0
così ho una somma di quadrati...è sufficiente a dire che è def pos? questa mi dà la possibilità di imporre che c=ab, ho una condizione in più che in questo esercizio mi aiuta (se non è una cazzata...)
Provo a farti un'altra domanda a proposito: si può anche fare, che tu sappai, dimostrando che ogni termine della forma quadratica, rispetto a una base qualunque sia positivo? nel senso, usando l'applicazione descritta prima:
(x,y,z)*(x',y',z')=2xx'+axy'+bx'y+cyy'+3zz'
$((2, a, 0), (b, c,0),(0, 0, 3))$
per essere prod scalare dev'essere bilin simmetrica (a=b) e def positiva:
scrivo la forma quadratica: $q(v)=2x^2+abxy+cy^2+3z^2= x^2+(x^2+abxy+c/2y^2)+c/2y^2+3z^2=
$=x^2+(x+sqrt(c/2)y)^2+c/y^2+3z^2=0
così ho una somma di quadrati...è sufficiente a dire che è def pos? questa mi dà la possibilità di imporre che c=ab, ho una condizione in più che in questo esercizio mi aiuta (se non è una cazzata...)
io ho sempre detto che erano minori anche.. chessò: la prima riga e la terza riga con la quarta riga e la settima riga... in generale qualunque sotto matrice quadrata.. o meglio qualunque determinante delle sottomatrici quadrate.. di solito "confondo" le sottomatrici e i minori; ma ti dicevo..il mio prof è polacco e quindi ho un lessico e una notazione un po' inconsueta..
la tua strada è corretta.. difatto usi la definizione: se ti trovi più comoda nel particolare esercizio..
beh completando il quadrato difatto diagonalizzi.. se ti serve anche nella continuazione dell'esercizio puoi farci un pensierino..
con la mia strada: innanzi tutto imponi $a=b$ <=> è simmetrica
e poi ti rimane da imporre $2c-a^2>0$ <=> è definita positiva
amen
la tua strada è corretta.. difatto usi la definizione: se ti trovi più comoda nel particolare esercizio..
beh completando il quadrato difatto diagonalizzi.. se ti serve anche nella continuazione dell'esercizio puoi farci un pensierino..
con la mia strada: innanzi tutto imponi $a=b$ <=> è simmetrica
e poi ti rimane da imporre $2c-a^2>0$ <=> è definita positiva
amen
ok, grazie esercizio completato (credo) con successo!
Per gli altri due es nessun suggerimento?
Per gli altri due es nessun suggerimento?
mi sa che hai sbagliato a calcolare la forma quadratica:
$q(v)=2x^2+(a+b)xy+cy^2+3z^2$
e poi non ha senso calcolare la forma quadratica se la bilineare non è simmetrica.. quindi puoi già mettere qui $a=b$
$q(v)=2x^2+(a+b)xy+cy^2+3z^2$
e poi non ha senso calcolare la forma quadratica se la bilineare non è simmetrica.. quindi puoi già mettere qui $a=b$
devo dare questo esame domani.. lo dovevo dare a luglio.. l'avevo studiato ma il prof ha spostato l'appello a quando io dovevo essere a parigi.. quindi non l'ho fatto più
ora lo devo fare domani..solo che non ho ancora ripetuto gli spazi affini.. ora che arrivo vediamo se ti so aiutare.. ciao
ora lo devo fare domani..solo che non ho ancora ripetuto gli spazi affini.. ora che arrivo vediamo se ti so aiutare.. ciao
Per il primo esercizio si puo' fare così.
Sia P(u,v,u) il punto generico del piano $pi$
La retta r appartiene al fascio di piani di equazione:
$x-y+lambda_1z=0$
Imponendo il passaggio per P si ha $u-v+lambda_1u=0$ da cui $lambda_1=(v-u)/u$
Pertanto il piano (P,r) ha equazione :
$x-y+(v-u)/uz=0$ e la sua intersezione $r_1$ con $pi$ e' la retta:
${(x-z=0),(x-y+(v-u)/uz=0):}$
I parametri direttori di tale retta sono i minori ,presi a segno alterno ,della matrice:
$((1,0,-1),(1,-1,(v-u)/u))$
Pertanto risulta:
$l:m:n=1: (v/u):1$
Analogamente la retta s appartiene al fascio di piani di equazione:
$lambda_2x+z-2=0$
Imponendo il passaggio per P si ha $lambda_2u+u-2=0$ da cui $lambda_2=(2-u)/u$
Pertanto il piano (P,s) ha equazione :
$(2-u)/ux+z-2=0$ e la sua intersezione $s_1$ con $pi$ e' la retta:
${(x-z=0),((2-u)/ux+z-2=0):}$
I parametri direttori di tale retta sono i minori ,presi a segno alterno ,della matrice:
$((1,0,-1),((2-u)/u,0,1))$
Pertanto risulta:
$l':m':n'=0: (2/u):0$ (notazione solo formale !!!)
La condizione di perpendicolarita' tra r1 ed s1 ,e cioe' ll'+mm'+nn'=0,diventa:
$(2v)/(u^2)=0$ ,da cui v=0
In conclusione il luogo richiesto e' la retta di equazioni:
${(x=u),(y=0),(z=u):}$
o se si preferisce di equazioni:
${(y=0),(x-z=0):}$
ovvero e' l'intersezione del piano $pi$ col piano xz (prima bisettrice di quest'ultimo piano).
Salvo errori.
karl
Sia P(u,v,u) il punto generico del piano $pi$
La retta r appartiene al fascio di piani di equazione:
$x-y+lambda_1z=0$
Imponendo il passaggio per P si ha $u-v+lambda_1u=0$ da cui $lambda_1=(v-u)/u$
Pertanto il piano (P,r) ha equazione :
$x-y+(v-u)/uz=0$ e la sua intersezione $r_1$ con $pi$ e' la retta:
${(x-z=0),(x-y+(v-u)/uz=0):}$
I parametri direttori di tale retta sono i minori ,presi a segno alterno ,della matrice:
$((1,0,-1),(1,-1,(v-u)/u))$
Pertanto risulta:
$l:m:n=1: (v/u):1$
Analogamente la retta s appartiene al fascio di piani di equazione:
$lambda_2x+z-2=0$
Imponendo il passaggio per P si ha $lambda_2u+u-2=0$ da cui $lambda_2=(2-u)/u$
Pertanto il piano (P,s) ha equazione :
$(2-u)/ux+z-2=0$ e la sua intersezione $s_1$ con $pi$ e' la retta:
${(x-z=0),((2-u)/ux+z-2=0):}$
I parametri direttori di tale retta sono i minori ,presi a segno alterno ,della matrice:
$((1,0,-1),((2-u)/u,0,1))$
Pertanto risulta:
$l':m':n'=0: (2/u):0$ (notazione solo formale !!!)
La condizione di perpendicolarita' tra r1 ed s1 ,e cioe' ll'+mm'+nn'=0,diventa:
$(2v)/(u^2)=0$ ,da cui v=0
In conclusione il luogo richiesto e' la retta di equazioni:
${(x=u),(y=0),(z=u):}$
o se si preferisce di equazioni:
${(y=0),(x-z=0):}$
ovvero e' l'intersezione del piano $pi$ col piano xz (prima bisettrice di quest'ultimo piano).
Salvo errori.
karl
"Gaal Dornick":
mi sa che hai sbagliato a calcolare la forma quadratica:
$q(v)=2x^2+(a+b)xy+cy^2+3z^2$
e poi non ha senso calcolare la forma quadratica se la bilineare non è simmetrica.. quindi puoi già mettere qui $a=b$
Avevo già imposto a=b, comunque grazie! (e sì, per la forma quadratica mi sono distratta
)Io devo dare questo esame dopodomani..
Grazie karl per il suggerimento, ora provo a rifarlo!
Nessuno ha suggerimenti per l'esercizio 2??
direi che hai ragione
"Gaal Dornick":
direi che hai ragione
Ok...ma cosa mi stanno chiedendo nel "descrivere tali affinità"?
Ps.com'è andato l'esame?
l'esame è oggi pomeriggio..alle 16 
ma sei sicura la traccia sia giusta?
avrebbe più senso (sarebbe più interessante) se fosse: date $r_1$ e $r_2$ rette e $l_1$ e $l_2$ rette
descrivere l'affinità che manda $r_i$ in $l_1$, se essa esiste!
ma sei sicura la traccia sia giusta?
avrebbe più senso (sarebbe più interessante) se fosse: date $r_1$ e $r_2$ rette e $l_1$ e $l_2$ rette
descrivere l'affinità che manda $r_i$ in $l_1$, se essa esiste!
"Gaal Dornick":
l'esame è oggi pomeriggio..alle 16
ma sei sicura la traccia sia giusta?
avrebbe più senso (sarebbe più interessante) se fosse: date $r_1$ e $r_2$ rette e $l_1$ e $l_2$ rette
descrivere l'affinità che manda $r_i$ in $l_1$, se essa esiste!
La traccia è esattamente come l'ho scritta, stava su un vecchio compito di geo2...in bocca al lupo!
"celeste":
Nessuno ha suggerimenti per l'esercizio 2??
Sia $v$ il vettore che dà la direzione di $r$ e $w$ il vettore relativo a $s$.
Puoi scegliere un sistema di riferimento in modo tale che $O \in r$ (puoi in ogni caso
ragionare a meno di traslazioni).
Consideri un endomorfismo $f: RR^3 \rightarrow RR^3$ tale che
$f(v) = w$
ce ne sono infiniti di questi endomorfismi.
Per costruire l'affinità basta a questo punto comporre questo endomorfismo $f$ con la traslazione $\tau$
di vettore $P$ (dove $P$ è un qualsiasi punto di $s$).
A questo punto si ha che $g = \tau \circ f$ è un'affinità che soddisfa la condizione
$g(r) = s$.
Francesco Daddi
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