Geometria affine (combinazioni affini e affinità)

[angus89]

Allora avrei due domande.
Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $K$
Sia $A$ uno spazio affine su $V$

1- $a,b,p \in A$ allora, è possibile affermare $a+b=p+\vec{pa} + \vec{pb}$ ?


2- Sia $f:A->A$ un'affinità. Sappiamo che una condizione necessaria affinche $f$ sia un'affinità è che $f$ deve mandare spazi paralleli in spazi paralleli, spazi incidenti in spazi incidenti e punti di intersezione in punti di intersezione.
Questa condizione è anche sufficiente (credo di si)...e come dimostrarlo?

[angus89]

Non mi sembra il caso di aprire un altro topic dato che l'altra domanda è inerente all'argomento.
Dato che ho notato che l'affine non piace a nessuno (o per lo meno su internet c'è pochissima teoria) espicito prima alcuni concetti base, come ci son stati definiti.

CONCETTI
Sia $A$ e $B$ due spazi affini rispettivamente su $V$ e $w$ (spazio vettoriale)
consideriamo $f:A->B$, questa è una applicazione affine se vale una di queste due (che sono equivalenti)

1- $f(x_1 a_1+ ... + x_k a_k)= x_1 f(a_1)+ ... + x_k f(a_k)$ .................. $\forall x_i \in K$ $\forall a_i \in A$



2 - fissato $a_0$ esiste un'unica $\phi : V->W$ lineare tale che
$f(a)=f(a_0)+ \phi_{a_0} (\vec{a_0 a})$
dove $\phi_{a_0} (v)=\vec{f(a_0)f(a_0+v)}$

Bè La mia domanda è: Se cambio il punto di riferimeno $a_0$ con $a_1$ l'applicazione lineare cambia?
Nel senso, vale $\phi_{a_0} (v)=\phi_{a_1} (v)$ ......................$\forall v \in V$?

Anche se penso di no, paradossalmente mi viene quello come risultato.
Infatti in un esercizio mi vien chiesto di dimostrare che
$\phi_{a_1} (v)=\phi_{a_0} (\vec{a_0 a_1}+v)- \vec{f(a_0)f(a_1)}$

osserviamo che dalla definizione segue
$\phi_{a_0} (\vec{a_0 a_1})=\vec{f(a_0)f(a_0+\vec{a_0 a_1})}=\vec{f(a_0)f(a_1)}$

per linearità
$\phi_{a_0} (\vec{a_0 a_1}+v)=\phi_{a_0} (\vec{a_0 a_1})+\phi_{a_0} (v)=\vec{f(a_0)f(a_1)}+\phi_{a_0} (v)$

Sintetizzando
$\phi_{a_0} (\vec{a_0 a_1}+v)=\vec{f(a_0)f(a_1)}+\phi_{a_0} (v)$

Ma sostituendo quest'ultima nell'esercizio che chiede di dimostrare
$\phi_{a_1} (v)=\phi_{a_0} (\vec{a_0 a_1}+v)- \vec{f(a_0)f(a_1)}$

otteniamo esattamente
$\phi_{a_0} (v)=\phi_{a_1} (v)$



Ok se questa cosa è vera ho finito l'esercizio, se non lo è ci son dei grossi problemi.

Spero che qualcuno abbia avuto la pazienza e il coraggio di leggere.
grazie

[killing_buddha]

"angus89":
1- $a,b,p \in A$ allora, è possibile affermare $a+b=p+\vec{pa} + \vec{pb}$ ?

La domanda non ha senso, perchè non ha senso una "somma di punti", a meno che tu non intenda quella baricentrica. Ma forse non ho capito, spiegati meglio. Per il resto,
$P+\vec{PA} = A$
per definizione di azione dello spazio $V$ sui punti di $A$, e da ciò segue che $A + \vec{PB}$ non è (o almeno, non sembra obbligato ad essere) legato a $B$.

[angus89]

ovviamente mi riferisco alla somma baricentrica (è una combinazione affine $1a+1b$)

[angus89]

ecco comuque qui è scritto per bene il ragionamento fatto nel precedente post
http://img200.imageshack.us/img200/8901/affine.jpg