Geometria A molteplicità a due, quadratiche, Aalla3
Ciao ragazzi! 
sono nuova di questo forum!
Spero di fare nuove amicizie!
Vi chiedo 3 dubbi, prima di tutto grazie mille per l'aiuto!
1) Cosa significa molteplicità a due? Nel contesto che mi viene richiesto ho una matrice
A= 1 K
-1 1
e devo determinare i valori di k per cui T ha un solo autovalore (di molteplicità a due). In pratica so trovare gli autovalori ma non so quali valori assegnare a k per far si che si verifica la moltepilicità a due...!
2) Il secondo dubbio è questo, la seguente equazione x alla 2 + y alla 2 - z= 0 mi viene chiesto se è un paraboloide elittico, mi basta verificare l'equazione del paraboloide che ho sul libro di fatto non è quella scritta oppure le variabili a e b possono assumere anche valore 1? Però non sarebbe più un paraboloide...dunque mi basta verificare se l'equazione soddisfa quelle elencate?
3) Terzo e ultimo dubbio! in pratica una matrice A alla 3 significa svolgere la moltiplicazione righe per colonne A x A x A, la stessa cosa se ho L alla 3 applic lineare associata ad A.
vi ringrazio tantissimooo.
GRAZIE!
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Vi chiedo 3 dubbi, prima di tutto grazie mille per l'aiuto!
1) Cosa significa molteplicità a due? Nel contesto che mi viene richiesto ho una matrice
A= 1 K
-1 1
e devo determinare i valori di k per cui T ha un solo autovalore (di molteplicità a due). In pratica so trovare gli autovalori ma non so quali valori assegnare a k per far si che si verifica la moltepilicità a due...!
2) Il secondo dubbio è questo, la seguente equazione x alla 2 + y alla 2 - z= 0 mi viene chiesto se è un paraboloide elittico, mi basta verificare l'equazione del paraboloide che ho sul libro di fatto non è quella scritta oppure le variabili a e b possono assumere anche valore 1? Però non sarebbe più un paraboloide...dunque mi basta verificare se l'equazione soddisfa quelle elencate?
3) Terzo e ultimo dubbio! in pratica una matrice A alla 3 significa svolgere la moltiplicazione righe per colonne A x A x A, la stessa cosa se ho L alla 3 applic lineare associata ad A.
vi ringrazio tantissimooo.
GRAZIE!
Risposte
argh ragazzi non ci dormo la notte da ieri sera... 
1) Sai come trovare gli AV?
In pratica calcoli $det(A- t*I)$, da cui esce nel tuo caso:
$(1-t)^2 +k$
Gli autovalori sono i valori di t per cui si annulla il determinante. L'unico valore di k per cui la soluzione ha molteplicità (algebrica) 2 è $k=0$. Infatti esce:
$(t-1)^2 = 0$ da cui l'autovalore unico è $t=1$.
2) $x^2 + y^2 - z = 0$
Quindi $z = x^2 + y^2$. Sia $F(x,y) = x^2 + y^2$, le curve di livello di $F(x,y)$ sono le curve in $RR^2$ con $F(x,y) = c$, con c costante arbitraria.
Le curve di livello per $c>0$ rappresentano circonferenze di raggio $sqrt(c)$.
Infatti $x^2 + y^2 = c$ è l'equazione cartesiana di una circonferenza per $c>0$. All'aumentare di z, aumenta anche il raggio della circonferenza. Per cui la curva vista in $RR^3$ è un paraboloide rivolto in alto, verso le z positive, non ellittico, ma circolare, per cui sezionandolo per le z positive parallelamente rispetto all'asse x-y hai le tue circonferenze.
3) La moltiplicazione di due matrici di una trasformazione lineare non è nient'altro che la composizione delle due trasformazioni lineari.
In pratica calcoli $det(A- t*I)$, da cui esce nel tuo caso:
$(1-t)^2 +k$
Gli autovalori sono i valori di t per cui si annulla il determinante. L'unico valore di k per cui la soluzione ha molteplicità (algebrica) 2 è $k=0$. Infatti esce:
$(t-1)^2 = 0$ da cui l'autovalore unico è $t=1$.
2) $x^2 + y^2 - z = 0$
Quindi $z = x^2 + y^2$. Sia $F(x,y) = x^2 + y^2$, le curve di livello di $F(x,y)$ sono le curve in $RR^2$ con $F(x,y) = c$, con c costante arbitraria.
Le curve di livello per $c>0$ rappresentano circonferenze di raggio $sqrt(c)$.
Infatti $x^2 + y^2 = c$ è l'equazione cartesiana di una circonferenza per $c>0$. All'aumentare di z, aumenta anche il raggio della circonferenza. Per cui la curva vista in $RR^3$ è un paraboloide rivolto in alto, verso le z positive, non ellittico, ma circolare, per cui sezionandolo per le z positive parallelamente rispetto all'asse x-y hai le tue circonferenze.
3) La moltiplicazione di due matrici di una trasformazione lineare non è nient'altro che la composizione delle due trasformazioni lineari.
Ciao Antonio!
ti ringrazio tantissimo per la risposta!
si gli autovalori li so calcolare, infatti a k ho assegnato il valore zero, dunque dopo aver calcolato le radici del polinomio caratteristico il risultato è t=1 . però per capire che ha molteplicità algebrica 2 , significa che la somma dei due risultati che trovo deve dare il grado del polinomio? ossia 2? infatti 1+1= 2 ...?
Scusami per il chiarimento ulteriore....
ti ringrazio tantissimo per la risposta!
si gli autovalori li so calcolare, infatti a k ho assegnato il valore zero, dunque dopo aver calcolato le radici del polinomio caratteristico il risultato è t=1 . però per capire che ha molteplicità algebrica 2 , significa che la somma dei due risultati che trovo deve dare il grado del polinomio? ossia 2? infatti 1+1= 2 ...?
Scusami per il chiarimento ulteriore....
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