Geometria

[Jazz_lover]

se ho una funzione f:[0,1]----R f(x)=x^2 e f discende ai quozienti a una funzione g:X/(relazione di equivalenza di X)---.Y/(relaz. di equivalenza di Y)
con 0 equivalente a 1 in X, s equivalente a t (in Y) se e solo se s-t appartiene a Z.
Come faccio a dimostrare che g è suriettiva e iniettiva? (Con che procedimento?) Ho letto che posso farlo facendo vedere che l'immagine di g contiene tutte le classi di equivalenza, ma come devo fare? Grazie in anticipo!

[alberto861]

dunque lo spazio di arrivo è omeomorfo a $[0,1)$, inoltre la proiezione di $(0,1)$ nel quoziente è $(0,1)$ stesso e nel quoziente $g$ ristretta a $(0,1)$ è proprio $[x]=\{x\} --> [x]^2=x^2+Z \in (0,1)+Z$ e quindi è chiaramente biettiva..inoltre $[0]=[1]$ e $g([0])=g([1])=0+Z\in [0,1)$ e quindi è suriettiva e l'iniettività segue dal fatto che l'unica classe che va in $0+Z$ è proprio $[0]=[1]$

[Jazz_lover]

Grazie!

Se dovessi calcolare g^(-1)([0]) e g^(-1)([t])? Cioè la controimmagine di 0 e t della funzione g introdotta?

E' giusto dire che la controimmagine di 0 ha due soli elementi {0,1} per la relazione di equivalenza [0]=[1] e dire che la controimmagine di un t in (0,1) costituisce solo un punto mentre se t=0 oppure t=1 allora la sua controimmagine costituisce due punti {0,1} ?

[alberto861]

è no...la funzione g è definita sulle classi quindi se due punti vanno nella stessa classe allora nello spazio quoziente individuano lo stesso punto altrimenti cade tutto il discorso dell'iniettività

[Jazz_lover]

"alberto86":è no...la funzione g è definita sulle classi quindi se due punti vanno nella stessa classe allora nello spazio quoziente individuano lo stesso punto altrimenti cade tutto il discorso dell'iniettività

Quindi quanti e quali punti sono nelle due controimmagini?

[alberto861]

uno!!..g^{-1}([0])=[0]=[1] cioè [0] e [1] nel dominio sono lo stesso punto dire "equivalenti" vuol dire che la proiezione li "spara" nello stesso punto (la classe)

[adaBTTLS1]

non so se ho capito bene: X=[0, 1] è il dominio della funxione f(x)=x^2 ed Y è il codominio, quindi banalmente Y=[0, 1] ?
se è così, in Y, gli unici due elementi che differiscono di un numero intero diverso da zero sono solamente 0 e 1. dunque [0]=[1] (in X/R) corrisponderà a [0]=[1] (in Y/R) e le altre corrispondenze saranno tra classi formate solo da un elemento dei "vecchi numeri": [a] corrisponderà a se e solo se a^2=b, con 0

Cita

Segnala

[Jazz_lover]

Se invece ho un insieme X={matrici 2 per 2 tali che A^2=I}

E' un insieme compatto e/o connesso? Perchè?

[Jazz_lover]

nessuno mi sa rispondere?
E come faccio a risolvere il seguente:
Dato S^1={e^io in C (complessi) tale che o sta in R}, su esso ho la relazione di equiv. -1 equivalente a +1
Dato Y=X/relaz.equiv lo sp. quoziente.
Data f:S^1----R^2 continua tale che f(p)=f(q) se p=q oppure p=-1 e q=1 oppure p=1 e q=-1. Devo dimostrare che Y è omeomorfo a f(S^1) con la top. indotta.

[Jazz_lover]

Il primo forse ho capito come risolverlo...ma il secondo zero...!

[Jazz_lover]

Qualcuno mi spiega perchè:
Dato I=[0,1], definita la relaz di equivalenza t equivalente a t' se e solo se t=t' oppure {t,t'}={0,1}
Sia S=I/relaz. di eq con la topologia quoziente. Perchè la proiezione canonica p:I--->S non è aperta?