Geometria

[Sk_Anonymous]

premetto che non mi ricordo quasi più nulla di geometria, questa roba non l'ho mai fatta nemmeno al corso e non conosco il prcedimento di Gram-Schmidt

dunque si vuole diagonalizzare la matrice espressa nella base canonica di $RR^3$

$=[(5/2,0,3/2),(0,4,0),(3/2,0,5/2)]

per trovare gli autovalori impongo $det[S-omegaI]=0 <=> det [(5/2-omega,0,3/2),(0,4-omega,0),(3/2,0,5/2-omega)]=0 <=> -(omega-1)(omega-4)^2=0 <=> omega =1 vv omega =4

per trovare l'autovettore corrispondente ad esempio ad $omega=1$ calcolo

$ker[(3/2,0,3/2),(0,3,0),(3/2,0,3/2)]$ e trovo che $ker[S-I]=span[(1),(0),(1)]=span vec (f_1)
analogamente, $ker[S-4I]=span[(-1),(0),(1)]=span vec(f_2)

perciò nella base $(vec(f_1),vec(f_2),vec(f_3))$, $=[(1,0,0),(0,4,0),(0,0,4)]

ma chi è $vec(f_3)$? il professore ci ha consigliato di calcolare $vec(f_3)=vec(f_1) xx vec(f_2)$ ma non mi sembra serva a molto....

[rubik2]

la matrice $S-4I$ ha rango 1 e quindi il ker ha dimensione due non 1. $f_3$ che cerchi è un altro vettore appartenente al ker e indipendente da $f_2$. ora si sa che le matrici simmetriche sono diagonalizzabili quindi prendere $f_3=f_1xf_2$ può anche essere ragionevole in quanto ottieni un vettore ortogonale a $f_1$ (non ha nessuna componente in quella direzione) e quindi sta nell'autospazio relativo all'autovalore 4 ed è indipendente da $f_2$ così che ${f_2,f_3}$ sono una base dell'autospazio relativo a 4. Comunque ti conviene trovare correttamente il ker di $S-4I$ è più semplice e funziona sempre. ciao

[Sk_Anonymous]

la metrice $S-4I$ ha rango 1 quindi l'unica equazione risolvente è $x_1=-x_3$ con infinito alla due soluzioni. dunque io ho sbagliato, le soluzioni del sistema sono ${(x_1=-x_3),(x_2=x_2),(x_3=x_3):}$ e non ${(x_1=-x_3),(x_2=0),(x_3=x_3):}$, giusto? le equazioni parametriche di questo sottospazio sono dunque
${(xi_1=-t'),(xi_2=t),(xi_3=t'):}$ giusto? quindi si possono prendere come vettori generatori i seguenti $vec(f_2)=[(0),(1),(0)], vec(f_3)=[(-1),(0),(1)]$. sono contento che qualcosa sto cominciando a ricordarmela

[rubik2]

mi pare sia corretto i conti non sono il mio forte

[Sk_Anonymous]

anche il mio ma è importante che qualcuno mi corregge se scrivo qualche stupidaggine. grazie