Geometria 1: esercizi sulle coniche con metodo dei fasci
Salve a tutti. Sono nuova in questo forum. Avrei bisogno di una mano
con questo esercizio di geometria 1 sulle coniche. Ecco il testo:
Determinare la parabola passante per O = (0,0) , per P = (1,3) e tale che la polare di P1 = (0,1) sia
la retta di equazione y -3x =0
Quindi.. Non avendo abbastanza condizioni non posso subito costruire il fascio. Ho ragionato così.
Facendo il grafico dei punti si vede che il punto P appartiene alla polare di p1 data dal testo.
Quindi per il teorema di reciprocità ne segue che p1 appartiene alla polare del punto P.
Ora siccome il punto P appartiene alla conica, la polare di questo punto è proprio la tangente
alla conica nel punto. Ma da qui comecontinuo a ragionare? Non capisco chi è la polare di
P e non riesco a costruire il fascio,c'è qualcosa che mi sfugge :/
Qualcuno sa aiutarmi? Avete altre soluzioni? Grazie
con questo esercizio di geometria 1 sulle coniche. Ecco il testo:
Determinare la parabola passante per O = (0,0) , per P = (1,3) e tale che la polare di P1 = (0,1) sia
la retta di equazione y -3x =0
Quindi.. Non avendo abbastanza condizioni non posso subito costruire il fascio. Ho ragionato così.
Facendo il grafico dei punti si vede che il punto P appartiene alla polare di p1 data dal testo.
Quindi per il teorema di reciprocità ne segue che p1 appartiene alla polare del punto P.
Ora siccome il punto P appartiene alla conica, la polare di questo punto è proprio la tangente
alla conica nel punto. Ma da qui comecontinuo a ragionare? Non capisco chi è la polare di
P e non riesco a costruire il fascio,c'è qualcosa che mi sfugge :/
Qualcuno sa aiutarmi? Avete altre soluzioni? Grazie
Risposte
Il tuo ragionamento è corretto. La legge di reciprocità ti dice che $P_1$ sta sulla tangente alla conica in $P$. La tangente deve passare quindi per entrambi $P$ e $P_1$ e quindi...
Ok grazie del suggerimento, ho cpt. Però nel costruire il fascio ho dei dubbi e comunque l'esercizio non mi riesce.
Ho costruito il fascio così. Per farti capire ho considerato il triangolo P1OP con base OP1 e vertice P. Quindi ho considerato
queste coniche dal fascio
retta Op1: x=0
tangente in P (che a questo punto è la retta PP1) : 2x-y+1=0
Retta OP y-3x=0
Retta PP1 : 2x-y+1=0
Quindi ho consederato questo fascio
x(2x-y+1) + k (-3x+y)(2x-y+1)=0
E' giusto così? Mi sa di no.. come ultima condizione non posso usare il passaggio per l'origine altrimenti
non ottengo niente :/ Può essere che siccome so già che è una parabola debba imporre nella matrice
associata alla conica che A33=0 ???? Ho provato anche imponendo a33 =0 e mi viene K=1
Ma per k=1 nel fascio si ottiene una conica che non è una parabola perchè la sua matrice dei coeff ha
determinante uguale a zero e la parabola non è una conica riducibile :/ !!!!!!
Ho costruito il fascio così. Per farti capire ho considerato il triangolo P1OP con base OP1 e vertice P. Quindi ho considerato
queste coniche dal fascio
retta Op1: x=0
tangente in P (che a questo punto è la retta PP1) : 2x-y+1=0
Retta OP y-3x=0
Retta PP1 : 2x-y+1=0
Quindi ho consederato questo fascio
x(2x-y+1) + k (-3x+y)(2x-y+1)=0
E' giusto così? Mi sa di no.. come ultima condizione non posso usare il passaggio per l'origine altrimenti
non ottengo niente :/ Può essere che siccome so già che è una parabola debba imporre nella matrice
associata alla conica che A33=0 ???? Ho provato anche imponendo a33 =0 e mi viene K=1
Ma per k=1 nel fascio si ottiene una conica che non è una parabola perchè la sua matrice dei coeff ha
determinante uguale a zero e la parabola non è una conica riducibile :/ !!!!!!
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